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Tags bewegungsgleichung, differentialgleichung, dynamik, geschwindigkeit, integration, kinematik, mechanik, physik, reibung, reibungskraft Difficulty Points 6 Language Type Quantity Last modified 1 year, 5 months ago Initial Version by Urs Zellweger (urs)	Newton'sche Gesetze 1 (urs) ETH 1. Vordiplom Physik Herbst 1997 (urs)	0

Exercise

Du ruderst mit einem Boot (Gesamtmasse $M$) mit der Geschwindigkeit $v_0=\SI{1.5}{\meter\per\second}$ auf eine Boje zu. Die Reibungskraft des Wassers sei $F_{\text\scriptsize R} = -\alpha v$. Andere Einflüsse werden vernachlässigt. Kurz vor der Boje hörst du auf zu rudern und lässt das Boot direkt in Richtung der Boje gleiten. \begin{abcliste} \abc Wie lautet die Bewegungsgleichung für das Boot auf dieser Strecke? \abc In welcher Entfernung $s$ von der Boje kannst du aufhören zu rudern, wenn du an der Boje noch eine Geschwindigkeit von $v_1=\SI{0.2}{\meter\per\second}$ haben willst ($\frac{\alpha}{M}=\SI{0.15}{\per\second}$)?\\ \emph{Hinweis:} Stelle einen Zusammenhang zwischen $s$ und $v$ durch Integration der Bewegungsgleichung her. \abc Wie lange dauert dieses Anlegemanöver?\\ \emph{Hinweis:} Integriere diesmal die Bewegungsgleichung durch Trennung von $v$ und $t$. \abc Welchen Weg benötigt man, wenn man genau an der Boje zum Stehen kommen will ($v_1=0$)? \abc Welche Zeit braucht man in (d)? \end{abcliste}

Solution

\begin{abcliste} \abc Die Bewegungsgleichung für das Boot lautet: \begin{align} Ma &= F \\ M\dot v &= -\alpha v \end{align} \abc Umformen der Bewegungsgleichung liefert: \begin{align} M\dot v &= -\alpha v\\ M \cdot \frac{\mbox{d}{v}}{\mbox{d}t} &= -\alpha \cdot \frac{\mbox{d}{s}}{\mbox{d}t}\\ M \cdot \mbox{d}{v} &= -\alpha \cdot \mbox{d}s\\ v_0-v_1 &= -\frac{\alpha}{M} \cdot (s_0-s_1)\\ &= \frac{\alpha}{M} \cdot s_1\\ s_1 &= \frac{\alpha}{M} \cdot (v_0-v_1)\\ &= \SI{8.67}{m}. \end{align} \abc Integration der Bewegungsgleichung führt auf: \begin{align} M\cdot dv &= -\alpha v dt\\ \frac{M}{\alpha}\frac{\mbox{d}v}{v} &= \mbox{d}t\\ t &= \frac{M}{\alpha}\cdot \ln\left(\frac{v_0}{v_1}\right)\\ &=\SI{13.4}{s} \end{align} \abc $s=\frac{M}{\alpha}v_0=\pq{10}{m}$ \abc $\lim_{v\rightarrow 0}=\infty$ \end{abcliste}

Revision Table