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Seit Baggerführer Willibalds Kinderlied in den Charts figuriert, ist dieser nicht mehr zu bremsen! Heute will er eine sinusförmige Bodenwelle planieren, indem er alles Material auf die Seite schiebt. \begin{center} \includegraphics[width=.9\textwidth]{#image_path:baggerarbeit#} \end{center} Die Vorwärtskraft, die sein Bagger dafür aufwenden muss, besteht aus drei Teilen. Der erste ist proportional zum momentanen Volumeninhalt der Schaufel. Der zweite ist proportional zur momentanen Bodenhöhe bei der Schaufel. Dazu kommt als Drittes eine konstante Reibungskraft (auch wegen nicht geölter Raupen). Die Breite der Schaufel ist $\pq{2}{m}$. Rechne alles ohne Einheiten. Probleme wegen des Aufstauens bzw. Hochhebens des Materials usw. sind zu vernachlässigen, auch energetisch. Man darf sich vorstellen, dass die ganze Arbeit eigentlich nur wegen Überwindung der Reibung entsteht und in Wärme übergeht. Also: \begin{align} F(s) = K_1\cdot V(s) + K_2\cdot h(s) + F_R\quad\mbox{mit}\\ K_1=\numprint{10000},\quad K_2 = \numprint{50000},\quad F_R = \pq{5000}{N} \end{align} \begin{abcliste} \abc Bestimme die Funktionsgleichung des sinusförmigen Erdwalls $h(s)$. \abc Bestimme die Funktion des Schaufelinhalts $V(s)$. \abc Berechne die Arbeit für einen Schiebevorgang einer ganzen Welle. \abc Welche Einheiten haben die Konstanten $K_1$ und $K_2$? \end{abcliste}
\begin{abcliste} \abc Laut Aufgabe ist die Bodenwelle sinusförmig. Man kann auf einen Blick sehen, dass der Sinus nach oben verschoben ist, d.h. die $x$-Achse müsste bei $y=\pq{1}{m}$ angebracht werden, um einen \glqq normalen\grqq\ Verlauf zu erhalten. Damit ist einsichtig, dass die Höhe durch \begin{align} h(s) = 1-\cos s \end{align} ausgedrückt werden kann. \abc Der Schaufelinhalt (ein Volumen) kann aus der Schaufelbreite und der \glqq Fläche\grqq\ des Schaufeinhaltes von der Seite gesehen berechnet werden: \begin{align} V(s) &= \int_0^s A\cdot h(\tilde s)\cdot \mbox{d}\tilde s\\ &= \int_0^s 2\cdot (1-\cos \tilde s) \mbox{d} \tilde s\\ &= 2(s-\sin s). \end{align} \abc Um eine ganze Welle zu schieben (von $0\dots 2\pi$, wie aus der Grafik ersichtlich), ist die Arbeit \begin{align} W &= \int F(s)\mbox{d} s\\ &= \int_0^{2\pi} \left(K_1\cdot V(s) + K_2\cdot h(s) + F_R\right)\mbox{d}s\\ &= \int_0^{2\pi} \left(\numprint{e4}\cdot 2(s-\sin s) +\numprint{5e4}\cdot (1-\cos s) + \numprint{5e4}\right)\mbox{d}s\\ &= \numprint{e4} \cdot 2 \cdot \left[\frac12s^2+\cos s\right]_0^{2\pi} + \numprint{5e4} \left[s-\sin s\right]_0^{2\pi} + \numprint{5e4}\left[s\right]_0^{2\pi}\\ &= \numprint{4e4}\pi^2 + \numprint{1.1e5}\pi\\ &= \pq{7.4036e5}{J}. \end{align} \abc Damit eine Kraft (Einheit Newton) entsteht, müssen die Einheiten der Konstanten \begin{align} [K_1] &= \frac{\text{kg}}{\text{s}^2\text{m}^2}\\ [K_2] &= \frac{\text{kg}}{\text{s}^2} \end{align} sein. \end{abcliste}
