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Tags 2 dim, billard, elastischer stoss, impuls, mechanik, physik Difficulty Points 4 Language Type Quantity Last modified 8 months, 1 week ago Initial Version by Urs Zellweger (urs)	AG - Zusammenprall zwei Billardkugeln (urs) Elastischer Stoss (urs)	4

Exercise

Beim Billard treffe die weisse Kugel mit $\SI{5}{\meter\per\second}$ auf die ruhende schwarze Kugel. Beide haben gleiche Masse. Nach dem elastischen Stoss bewege sich die schwarze Kugel unter einem Winkel von $\ang{30}$ gegen die Richtung der einlaufenden Kugel weg. \begin{abcliste} \abc Bestimme die Bewegungsrichtung der weissen Kugel nach dem Stoss. \abc Bestimme die Geschwindigkeiten der beiden Kugeln. \end{abcliste}

Solution

\begin{abcliste} \abc Der Spielball (die weisse Kugel) läuft anfangs mit $\SI{5}{\meter\per\second}$ auf die schwarze Kugel zu; die Situation ist also die folgende. \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=.9] \BillardSpielball{0,0}{.9}; \Billardkugel{5,.9}{.9}{black}{8}; \draw[dashed] (2.7,0)--(7,0); \draw[color=green!50!black,->,>=latex] (.9,0)--(2.4,0) node[above] {$\vec v_1$}; \end{tikzpicture} \end{center} Die beiden Kugeln treffen sich dann so, dass der schwarze Objektball in einem Winkel von $30\grad$ zur Einlaufrichtung der weissen Kugel wegrollt. \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=.9] \BillardSpielball{3.44,0}{.9}; \Billardkugel{5,.9}{.9}{black}{8}; \draw[dashed] (5,0)--(7,0); \draw[dashed] (1,0)--(2,0); \draw[xshift=3.44cm,color=green!50!black,->,>=latex] (30:2.7cm) -- +(30:1.3cm) node[above] {$\vec v_2'$}; \end{tikzpicture} \end{center} Die Richtung der weissen Kugel nach dem Stoss, d.h. $\vec v_1'$ ist bis dahin unklar. Wir finden sie mit dem Energieerhaltungssatz: \begin{align} \Ekin &= \Ekin'\\ \frac{1}{2}mv_1^2 &= \frac{1}{2}mv_1'^2+\frac{1}{2}mv_2'^2\\ v_1^2 &= v_1'^2+v_2'^2 \label{geschwphyth} \end{align} Da wir es in dieser Aufgabe mit \glqq 2-dimensionalen Geschwindigkeiten\grqq, also Vektoren, zu tun haben, bedeutet $v_1^2$ in der Gleichung oben $v_1^2 = |\vec v_1|^2$. Deshalb bedeutet Gleichung (\ref{geschwphyth}), dass die Geschwindigkeiten $\vec v_1$, $\vec v_1'$ und $\vec v_2'$ ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypothenuse $v_1$ bilden. (Gleichung (\ref{geschwphyth}) ist im Grunde genommen Pythagoras.) Wir können die Richtung des weissen Objektballs also einzeichnen: \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=.9] \BillardSpielball{3.44,0}{.9}; \Billardkugel{5,.9}{.9}{black}{8}; \draw[dashed] (5,0)--(7,0); \draw[dashed] (1,0)--(2,0); \draw[xshift=3.44cm,color=green!50!black,->,>=latex] (30:2.7cm) -- +(30:1.3cm) node[above] {$\vec v_2'$}; \draw[xshift=3.44cm,dashed,color=red,->,>=latex] (30:2.7cm) -- +(1.5,0) node[below] {$\vec v_1$}; \draw[xshift=3.44cm,dashed, color=blue,->,>=latex] (30:4cm) -- +(-60:.75cm) node[above] {$\vec v_1'$}; \draw[xshift=3.44cm,color=green!50!black,->,>=latex] (-60:.9cm) -- +(-60:0.75cm) node[above] {$\vec v_1'$}; \end{tikzpicture} \end{center} Sie ist wegen des oben erwähnten rechtwinkligen Dreiecks um $-60\grad$ gegen die Einlaufrichtung geneigt. Beachte: Die Feststellung, dass die Richtungen der Geschwindigkeiten der Kugeln nach ihrem Zusammentreffen einen rechten Winkel bilden ist \emph{unabhängig} von den $30\grad$, d.h. sie gilt immer! Man kann so also leicht feststellen, ob man Gefahr läuft, neben einem Objektball auch noch den weissen Spielball zu versenken. \abc Nach den Richtungen sind nun noch die Geschwindigkeitsbeträge der beiden Kugeln zu finden. Diese finden wir nun mit der Impulserhaltung. Sie gilt in beide Richtungen ($x$ und $y$). Für die $x$-Richtung finden wir: \begin{align} mv_{1x} &= mv_{1x}'+mv_{2x}'\\ v_{1x} &= v_{1x}'+v_{2x}'\\ \pq{5}{\mps} &= v_1'\cdot \cos(60\grad)+v_2'\cdot \cos(\ang{30}), \end{align} Für die $y$-Richtung entsprechend: \begin{align} mv_{1y} &= mv_{1y}'+mv_{2y}'\\ v_{1y} &= v_{1y}'+v_{2y}'\\ 0 &= -v_1'\cdot \sin(\ang{60})+v_2'\cdot \sin(\ang{30}). \end{align} Dieses Gleichungssystem hat die folgende Lösung: \begin{align} v_1' = \SI{2.5}{\meter\per\second} \quad v_2' = \SI{4.33}{\meter\per\second} \end{align} \end{abcliste}

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