Gauss'sches Integral
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Exercise:
Berechne das Gauss'sche Integral _mathbbR exp-t^ rm dt Hinweis: Betrachte die Funktion * f: mathbbR^ &rightarrow mathbbR xy &mapsto exp-x^-y^ * und verwe Polarkoordinaten.
Solution:
Als erstes stellt man fest dass es für dieses Integral keine Stammfunktion gibt. Im folgen gelte I:_mathbbR exp-t^ rm dt _-infty^infty exp-t^ rm dt Mit dem Hinweis kann man auf die Idee kommen das Integral zu quadrieren. Dann gilt I^ _-infty^infty exp-x^ rm dx _-infty^infty exp-y^ rm dy _-infty^infty_-infty^infty exp-x^-y^ rm dy rm dx Bei Addition der Quadrate zweier Integrationsvariablen bieten sich Polarkoordinaten an. Es gilt also x rcosphi qquad y rsinphi qquad rm dyrm dx rrm drrm dphi Für den Radius gilt r infty und für den Winkel phi pi da über ganz mathbbR egriert wird. Einsetzen ins Integral führt zu I^ _^infty_^pi exp-r^ rrm dphirm dr pi_^inftyexp-r^ rrm dr pileft-frac exp-r^right_r^infty pi Nun muss noch die Wurzel gezogen werden und man erhält Isqrtpi Wichtig bei dieser Aufgabe ist die Erkenntnis dass bestimmte Integrale ohne Stammfunktion durch Koordinatentransformationen extrem vereinfacht werden können.
Berechne das Gauss'sche Integral _mathbbR exp-t^ rm dt Hinweis: Betrachte die Funktion * f: mathbbR^ &rightarrow mathbbR xy &mapsto exp-x^-y^ * und verwe Polarkoordinaten.
Solution:
Als erstes stellt man fest dass es für dieses Integral keine Stammfunktion gibt. Im folgen gelte I:_mathbbR exp-t^ rm dt _-infty^infty exp-t^ rm dt Mit dem Hinweis kann man auf die Idee kommen das Integral zu quadrieren. Dann gilt I^ _-infty^infty exp-x^ rm dx _-infty^infty exp-y^ rm dy _-infty^infty_-infty^infty exp-x^-y^ rm dy rm dx Bei Addition der Quadrate zweier Integrationsvariablen bieten sich Polarkoordinaten an. Es gilt also x rcosphi qquad y rsinphi qquad rm dyrm dx rrm drrm dphi Für den Radius gilt r infty und für den Winkel phi pi da über ganz mathbbR egriert wird. Einsetzen ins Integral führt zu I^ _^infty_^pi exp-r^ rrm dphirm dr pi_^inftyexp-r^ rrm dr pileft-frac exp-r^right_r^infty pi Nun muss noch die Wurzel gezogen werden und man erhält Isqrtpi Wichtig bei dieser Aufgabe ist die Erkenntnis dass bestimmte Integrale ohne Stammfunktion durch Koordinatentransformationen extrem vereinfacht werden können.