Exercise:
Eine Rakete hat eine Masse von m_t. Aufgrund ihres Treibstoffs steht ihr ETJ Energie zur Verfügung. abcliste abc Wie hoch über Erdoberfläche kann die Rakete aufsteigen ohne die nötige Geschwin- digkeit für eine stabile Kreisbahn zu erhalten wenn -- fälschlicherweise -- von einer konstanten Erdbeschleunigung und einer konstanten Raketenmasse ausgegangen wird? abc Wie hoch kann die Rakete aufsteigen wenn die Erdbeschleunigung gemäss Gravitationsgesetz mit der Höhe abnimmt? abcliste Durch den Verbrauch des Treibstoffs nimmt die Masse der Rakete währ des Aufstiegs ab. Für die nachfolgen Rechnungen hänge die Masse wie folgt vom Abstand r des Raumschiffs vom Erdmittelpunkt ab: mrbiggfrac+fracR_textErde^r^!bigg m_ abcliste setcounterabc abc Welche Masse hat die Rakete auf Höhe hmbs R_textErde über der Erdoberfläche? abc Reicht TJ Energie um die Rakete auf die Höhe hmbs R_textErde über der Erdoberfläche zu befördern? abcliste

Solution:
Im Folgen steht R für R_textErde und M für M_textErde. abcliste abc Die Hubarbeit bei konstantem g-Wert berechnet sich als W_textHubm_ gh Somit folgt h fracEm_ g fracpqTJ s^pqkgpq.m &approx pqkm. abc Aufzulösen ist die Beziehung vspacex W_textHub G M m_biggfracR-fracR+hbigg nach h und man erhält vspacex h fracfracR-fracWG M m_-R pqkm. abc Einfaches Einsetzen von R liefert mR biggfrac+frac R^ R^bigg m_ biggfrac+fracbigg textt pq.t. abc Aus dem Gravitationsgesetz erhält man F_Gr G fracM mrr^ fracG Mr^ biggdfrac+dfracR^r^biggm_ fracG M m_ biggfracr^+fracR^r^bigg. Jetzt egrieren wir über den Weg: W_textHub _R^R F_Grtextdr dfracG M m_ _R^R biggdfracr^+dfracR^r^biggtextdr & dfracG M m_ left-fracr-fracR^r^right_R^R dfracG M m_ leftfracR^r^+fracrright_R^R dfracG M m_ biggdfracR^R^+dfracR-dfracR^R^-dfracRbigg dfracG M m_R bigg + - dfrac - dfracbigg & dfracG M m_Rdfrac dfracGMm_R & approx pq.EJ. Ja TJ reicht. abcliste