Kristall-Zylinder
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The following quantities appear in the problem:
The following formulas must be used to solve the exercise:
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Exercise:
Ein Kristall-Zylinder rotiert mit Hz um seine Symmetrieachse. Nun wächst er an der Peripherie durch Kristallisation um nanometerpersecond weiter bis er sich nach Tagen noch mit zwei Umdrehungen pro Sekunde dreht. Berechne den anfänglichen Radius des Zylinders unter der Voraussetzung dass er anfänglich bei .cm Höhe eine Masse von .kg hatte.
Solution:
Die Radien hängen aufgrund des Wachstums wie folgt zusammen: r_ r_ + tilde r r_ + vt r_ + .meterpersecond s r_ + .m r_ + .cm Aus der Drehimpulserhaltung erhält man eine zweite Gleichung für die beiden Radien: J_omega_ J_omega_ J_ pi f_ J_ pi f_ fracm_r_^ pi f_ fracm_r_^ pi f_ fracrho V_r_^ pi f_ fracrho V_r_^ pi f_ fracrho pi r_^ hr_^ pi f_ fracrho pi r_^ h r_^ pi f_ r_ sqrtfracf_f_ r_ Wie üblich kann dieses Gleichungssystem mit der Substitutionsmethode gelöst werden; nimmt man die erste Gleichung welche schon nach r_ aufgelöst ist und substituiert damit bei der zweiten Gleichung r_ so erhält man: r_ + tilde r sqrtfracf_f_ r_ Aufgelöst nach dem Radius r_ bekommt man: tilde r leftsqrtfracf_f_-right r_ r_ fractilde rleftsqrtfracf_f_-right frac.mleftsqrtfracHzHz-right .m .cm
Ein Kristall-Zylinder rotiert mit Hz um seine Symmetrieachse. Nun wächst er an der Peripherie durch Kristallisation um nanometerpersecond weiter bis er sich nach Tagen noch mit zwei Umdrehungen pro Sekunde dreht. Berechne den anfänglichen Radius des Zylinders unter der Voraussetzung dass er anfänglich bei .cm Höhe eine Masse von .kg hatte.
Solution:
Die Radien hängen aufgrund des Wachstums wie folgt zusammen: r_ r_ + tilde r r_ + vt r_ + .meterpersecond s r_ + .m r_ + .cm Aus der Drehimpulserhaltung erhält man eine zweite Gleichung für die beiden Radien: J_omega_ J_omega_ J_ pi f_ J_ pi f_ fracm_r_^ pi f_ fracm_r_^ pi f_ fracrho V_r_^ pi f_ fracrho V_r_^ pi f_ fracrho pi r_^ hr_^ pi f_ fracrho pi r_^ h r_^ pi f_ r_ sqrtfracf_f_ r_ Wie üblich kann dieses Gleichungssystem mit der Substitutionsmethode gelöst werden; nimmt man die erste Gleichung welche schon nach r_ aufgelöst ist und substituiert damit bei der zweiten Gleichung r_ so erhält man: r_ + tilde r sqrtfracf_f_ r_ Aufgelöst nach dem Radius r_ bekommt man: tilde r leftsqrtfracf_f_-right r_ r_ fractilde rleftsqrtfracf_f_-right frac.mleftsqrtfracHzHz-right .m .cm