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Tags dichte, masse, mechanik, mischung, physik, volumen Difficulty Points 4 Language Type Quantity Last modified 11 months, 2 weeks ago Initial Version by Urs Zellweger (urs)	Dichte II (patrik) Dichte 2 (urs)	0

Exercise

Ein zylindrisches Fass mit einem Durchmesser von $\SI{60.0}{cm}$ ist bis zu einer Höhe von $\SI{80.0}{cm}$ mit einer Flüssigkeit der Dichte $\SI{0.500}{\gram\per\cubic\centi\meter}$ gefüllt. \begin{abcliste} \abc Berechne die Masse der Flüssigkeit. \abc Wenn nun bis zu einer Höhe von $\SI{120}{cm}$ eine andere Flüssigkeit mit einer Dichte von $\SI{1.50}{\gram\per\cubic\centi\meter}$ hinzu gegossen wird, welche sich mit der ersten Flüssigkeit vermischt -- wie gross ist dann die Dichte der Flüssigkeitsmischung? \end{abcliste}

Short Solution

(a) $m_1=\SI{113}{kg}$ (b) $\rho_M=\SI{834}{\kilo\gram\per\cubic\meter}$

Solution

\Geg{ d &= \SI{60.0}{cm} = \SI{0.600}{m} \\ h_1 &= \SI{80.0}{cm} = \SI{0.800}{m} \\ \varrho_1 &= \SI{0.500}{\gram\per\cubic\centi\meter} = \SI{500}{\kgpmk} } \begin{abcliste} \abc \Ges{Masse}{[m_1]=\si{kg}} Das Volumen der ersten Flüssigkeit beträgt \begin{align} V_1 &= \pi \qty(\frac{d}{2})^2 \cdot h_1 = \frac{\pi d^2 h_1}{4} \\ &= \pi \cdot \left(\frac{\SI{0.600}{m}}{2}\right)^2 \cdot \SI{0.800}{m}\\ &= \SI{0.2262}{\cubic\meter}. \end{align} Die Masse dieser ersten Flüssigkeit ist \begin{align} m_1 &= \rho_1 \cdot V_1 = \frac{\varrho_1 \pi d^2 h_1}{4}\\ &= \SI{500}{\kilo\gram\per\cubic\meter} \cdot \SI{0.2262}{\cubic\meter}\\ &= \SI{113.1}{kg}. \end{align} \Lsg{ m_1 &= \frac{\varrho_1 \pi d^2 h_1}{4} \\ &= \SI{113}{kg} } \abc \Geg{h_2 &= \SI{120}{cm} = \SI{1.20}{m} \\ \varrho_2 &= \SI{1.50}{\gram\per\cubic\centi\meter} = \SI{1.50e3}{\kgpmk} } \Ges{Mischdichte}{[\varrho] = \si{\kgpmk}} Das Volumen der zweiten Flüssigkeit ist: \begin{align} V_2 &= \pi \qty(\frac{d}{2})^2 \cdot (h_2-h_1) = \frac{\pi d^2 (h_2-h_1)}{4}\\ &= \pi \cdot \left(\frac{\SI{0.600}{m}}{2}\right)^2 \cdot (\SI{1.20}{m}-\SI{0.800}{m})\\ &= \SI{0.1131}{\cubic\meter} \end{align} Deren Masse ist: \begin{align} m_2 &= \rho_2 \cdot V_2 = \frac{\rho_2 \pi d^2 (h_2-h_1)}{4}\\ &= \SI{1.50e3}{\kilo\gram\per\cubic\meter} \cdot \SI{0.1131}{\cubic\meter}\\ &= \SI{169.6}{kg} \end{align} Zusammen haben die Flüssigkeiten eine Masse von \al{ m &= m_1+m_2\\ &= \frac{\varrho_1 \pi d^2 h_1}{4} + \frac{\rho_2 \pi d^2 (h_2-h_1)}{4} \\ &= \frac{\pi d^2}{4}(\rho_1 h_1 + \rho_2h_2 - \rho_2h_1)\\ &= \SI{282.7}{kg}. } und zusammen haben sie ein Volumen von \al{ V &= V_1+V_2 \\ &= \frac{\pi d^2 h_1}{4} + \frac{\pi d^2 (h_2-h_1)}{4}\\ &= \frac{\pi d^2 h_2}{4} \\ &=\SI{0.3393}{\cubic\meter}. } Hiermit lässt sich die Dichte der Flüssigkeitsmischung berechnen: \begin{align} \rho &= \frac{m}{V} \\ &= \frac{\rho_1 h_1 + \rho_2h_2 - \rho_2h_1}{h_2} \\ &= \frac{\SI{500}{\kgpmk} \cdot \SI{0.800}{m} + \SI{1.50e3}{\kgpmk} \cdot \SI{1.20}{m} - \SI{1.50e3}{\kgpmk} \cdot \SI{0.800}{m} }{\SI{1.20}{m}}\\ &= \SI{833.3}{\kilo\gram\per\cubic\meter}. \end{align} \Lsg{ \rho &= \frac{\rho_1 h_1 + \rho_2h_2 - \rho_2h_1}{h_2} \\ &= \SI{833}{\kgpmk} } \end{abcliste}

Revision Table

14:26, 26. Dec. 2018	sig	Patrik Weber (patrik)	Current Version
11:00, 25. May 2018	diff	Urs Zellweger (urs)	Compare with Current
16:45, 16. May 2017	si	Urs Zellweger (urs)	Compare with Current