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Tags achse, drehimpuls, drehimpulserhaltung, fahrrad, kreisel, mechanik, physik, rotation, starrer körper Difficulty Points 3 Language Type Quantity Last modified 8 months, 1 week ago Initial Version by Urs Zellweger (urs)	Kreisel (urs)	0

Exercise

Ein Rad von einem Fahrrad habe $\SI{30}{cm}$ Radius und sei in der Mitte einer Achse der Länge $\SI{60}{cm}$ montiert. Das Rad (Felge und Reifen) habe eine Gewichtskraft von $\SI{36}{N}$. Das Rad drehe sich mit $\SI{10}{Hz}$ an der horizontalen Achse, welche an einem Ende an einem Gelenk befestigt sei. \begin{abcliste} \abc Wie gross ist der Drehimpuls der Raddrehung? (Das Rad darf näherungsweise als Ring behandelt werden.) \abc Wie gross ist die Winkelgeschwindigkeit der Präzession? \abc Wie lange dauert es, bis sich die Achse einmal um $360\grad$ gedreht hat? \abc Wie gross ist der Betrag des Drehimpulses der Bewegung der Präzession und in welche Richtung zeigt dieser Drehimpuls (d.h. auf welche Seite dreht sich die Achse)? \end{abcliste}

Solution

\begin{abcliste} \abc Der Drehimpuls der Raddrehung ist (sofern man das Rad als Ring mit aller Masse auf der Peripherie betrachtet): \begin{align} L &= J \cdot \omega\\ &= mr^2 \cdot \omega\\ &= \SI{3.6}{kg} \cdot (\SI{0.30}{m})^2 \cdot \SI{10}{Hz}\\ &= \SI{3.24}{\kilo\gram\meter\squared\per\second} \end{align} \abc Die Winkelgeschwindigkeit der Präzession beträgt: \begin{align} \Omega &= \frac{M}{L}\\ &= \frac{R\cdot \FG}{J\cdot \omega}\\ &= \SI{1.06}{\radian\per\second} \end{align} Das heisst, das Rad präzediert mit $f_p=\frac{\Omega}{2\pi}=\pq{0.17}{Hz}$. \abc Eine Umdrehung des Rades aufgrund der Präzession dauert \begin{align} T_p &= \frac{2\pi}{\Omega}\\ &= \frac{1}{f_p}\\ &= \SI{5.92}{s}. \end{align} \abc Der Drehimpuls der Präzession beträgt: \begin{align} L_p &= J_p \cdot \Omega\\ &= mR^2 \cdot \Omega\\ &= \SI{1.37}{\kilo\gram\meter\squared\per\second} \end{align} Um die Richtung der Präzession zu wissen, müssen wir wissen, in welche Richtung sich dsa Rad dreht. Die Präzession des Drehimpulses des Rades ist dann so gerichtet, dass dieser das Drehmoment, welches in verändert, jagt. \end{abcliste}

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