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Tags ableiten, ableitung, dgl, differential, mathematik, taylor, taylorreihen Difficulty Points 4 Language Type Quantity Last modified 10 months, 2 weeks ago Initial Version by Urs Zellweger (urs)	This Exercise is currently not added to any collections.	0

Exercise

Betrachte die Gleichung $\sin(x) = \cos(x)$. \begin{abcliste} \abc Berechne einen Näherungswert für die Lösung $x_0 \in [0,\frac{\pi}{2}]$ der obigen Gleichung, indem du die beiden Funktionen jeweils durch die \emph{ersten zwei Summanden} ihrer Taylorentwicklung ersetzt. Verwende die Formelsammlung. \abc Berechne oder errate die exakte Lösung der Gleichung und bestimme den relativen Fehler der Lösung aus (a) in Prozenten der exakten Lösung. \end{abcliste}

Solution

\begin{enumerate} \item[(a)] $\begin{aligned}[t] x - \dfrac{x^3}{3!} &= 1 - \dfrac{x^2}{2!} \\[1ex] 6x - x^3 &= 6 - 3x^2 \\[1ex] 0 &= x^3 - 3x^2 - 6x + 6 \end{aligned}$ $x=0.77653792833$ \item[(b)] exakte Lösung: $x=\pi/4$ relativer Fehler: $\dfrac{\pi/4-0.7765379}{\pi/4} = 1.128\%$ \end{enumerate}

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