Exercise
https://texercises.com/exercise/trigonometrisches-integral-1/
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Exercise:
Zeige: _^pi fraccos^t+sin^trm d tpisqrt Hinweis: Eulersche Identität Residuensatz

Solution:
renewcommanddrm d newcommanderm e newcommandirm i * I _^pi fraccos^t+sin^trm d t _^pi fracleftfrace^i t+e^-i t right^+leftfrace^i t-e^-i ti right^rm d t _^pi fracleftfrace^i t+e^i t++e^-i t+e^-i t right+leftfrace^i t-e^i t+-e^-i t+e^-i t rightrm d t _^pifrace^i t++e^-i td t _^pifrace^i t++e^-i td t _^pifrace^i te^i t+e^i t+d t * Mit der Substitution: st qquad d t frac d s qquad s_ t_ qquad s_ t_ pi pi folgt: * I _^pifrace^i se^i s+e^i s+d s _^pifrace^i se^i s+e^i s+d s * wobei im letzten Schritt die pi-Periodizität der Funktion im Integral benutzt wurde. Jetzt substituiert man: z e^i s qquad d s fracie^-i sd z qquad |z| was einem Kreis mit Radius entspricht. Somit lässt sich das Integral schreiben als: * I fraci o_|z| fracz^+z+d z * Die Nullstellen des Nenners sind: z_ frac-pmsqrt- -pmsqrt wobei z_ innerhalb des Kreises liegt. Aus dem Residuensatz folgt * I pirm Resleftfracz^+z+-pmsqrtright pi leftfracz---sqrtright_z-+sqrt pi fracsqrt fracpisqrt pisqrt qquad blacksquare *
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Exercise:
Zeige: _^pi fraccos^t+sin^trm d tpisqrt Hinweis: Eulersche Identität Residuensatz

Solution:
renewcommanddrm d newcommanderm e newcommandirm i * I _^pi fraccos^t+sin^trm d t _^pi fracleftfrace^i t+e^-i t right^+leftfrace^i t-e^-i ti right^rm d t _^pi fracleftfrace^i t+e^i t++e^-i t+e^-i t right+leftfrace^i t-e^i t+-e^-i t+e^-i t rightrm d t _^pifrace^i t++e^-i td t _^pifrace^i t++e^-i td t _^pifrace^i te^i t+e^i t+d t * Mit der Substitution: st qquad d t frac d s qquad s_ t_ qquad s_ t_ pi pi folgt: * I _^pifrace^i se^i s+e^i s+d s _^pifrace^i se^i s+e^i s+d s * wobei im letzten Schritt die pi-Periodizität der Funktion im Integral benutzt wurde. Jetzt substituiert man: z e^i s qquad d s fracie^-i sd z qquad |z| was einem Kreis mit Radius entspricht. Somit lässt sich das Integral schreiben als: * I fraci o_|z| fracz^+z+d z * Die Nullstellen des Nenners sind: z_ frac-pmsqrt- -pmsqrt wobei z_ innerhalb des Kreises liegt. Aus dem Residuensatz folgt * I pirm Resleftfracz^+z+-pmsqrtright pi leftfracz---sqrtright_z-+sqrt pi fracsqrt fracpisqrt pisqrt qquad blacksquare *
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Attributes & Decorations
Tags
analysis, cauchy, funktionentheorie, integral, komplexe, kreisintegral, parametrisierung, residuensatz, substitution, trigonometrisches
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Difficulty
(5, default)
Points
6 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Calculative / Quantity
Creator pw
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