Exercise:
N Massepunkte Masse m sind mit N masselosen Federn Federkonstante f verbunden. Der erste Massenpunkt ist mit dem N-ten Massenpunkt durch einen starren masselosen Stab verbunden. Der Abstand der Massenpunkt in Gleichgewichtslage sei a -- somit ist also die Koordinate der Ruhelage des n-ten Massenpunktes na. Betrachte kleine Auslenkungen den n-ten Massenpunktes una t ll a aus der Ruhelage. Vernachlässige die Gravitation. abcliste abc Stelle die Newton'sche Bewegungsgleichung für den n-ten Massenpunkt auf. abc Wie lauten die Randbedingungen die durch die Verbindung des ersten mit dem N-ten Massenpunkt entstehen? abc Löse die Bewegungsgleichung aus a. Verwe den Ansatz unat u_expleftikna-omega tright und berechne omegak mit den Randbedingungen aus b. Hinweis: -cos x sin^. x. abc Skizziere omegak im Intervall -fracpiale k le fracpia. Warum reicht es vollständig aus nur diesen Bereich zu betrachten? abc Berechne die Wellengeschwindigkeit definiert durch fracpartial^ unatpartial t^ v^fracpartial^ unatpartial na^ Nimm hierzu na als kontinuierlich an. Zeige dass für kll die Beziehung vsqrtfracfm gilt. Was bedeutet es physikalisch dass die Wellengeschwindigkeit nur in dieser Näherung unabhängig von k wird vergleiche die Wellenzahl mit dem Abstand der Massenpunkt? abcliste

Solution:
abcliste abc Auf den n-ten Massenpunkt wirken die Kräfte durch die Auslenkungen der beiden Nachbarn: Kn fleftun+a - una + un-a right mddot u na abc Die N-te Feder wirkt auf die erste Feder und umgekehrt uN+aua uNa u abc Ansatz unat u_e^ikna-omega t ddot unat -omega^unat. abc Die Wellengeschwindigkeit folgt aus der Wellengleichung v sqrtfracfm fracsin.kak Für kall ist sinka.ka und damit vasqrtfracfm. Physikalisch heisst das die Wellengeschwindgkeit auch Gruppengeschwindigkeit genannt ist unabhängig von der Wellenzahl solange die Wellenlänge gross ist gegenüber dem Abstand der Massen also z.B. immer in der Näherung das Medium sei kontinuierlich. abcliste