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Tags arbeit, arbeitsintegral, auftrieb, dynamik, integral, integralrechnung, physik Difficulty Points 3 Language Type Quantity Last modified 2 years, 3 months ago Initial Version by Urs Zellweger (urs)	Arbeitsintegrale 5 (urs) Arbeit und Energie (urs)	0

Exercise

Ein Zylinder aus Plexiglas ($\SI{2}{m}$ Höhe und $\SI{30}{cm}$ Radius) sei vertikal gerade bis unter die Oberfläche in Wasser eingetaucht. Berechne die Arbeit, welche notwendig ist, um den Zylinder aus dem Wasser zu ziehen. Die Dichte von Plexiglas ist $\SI{1.2}{\gram\per\centi\meter\squared}$.

Short Solution

$\SI{1.14e3}{J}$

Solution

Die Kraft, mit welcher am Zylinder gezogen werden muss, ist abhängig von der Höhe, um welche er bereits aus dem Wasser gezogen wurde; da die Kraft linear von der Strecke abhängt, kann mit dem Durchschnitt aus Anfangs- und Endkraft gerechnet werden: Die Kraft am Ende, wenn der Zylinder aus dem Wasser gezogen wurde, entspricht genau seiner Gewichtskraft, also: \begin{align} F_2 &= \FG\\ &= mg\\ &= \rho_{\text{\scriptsize P}} V \cdot g\\ &= \rho_{\text{\scriptsize P}} \cdot \pi r^2 h \cdot g\\ &= \SI{6480}{N} \end{align} Die Kraft, welche am Anfang benötigt wird, wenn der Zylinder komplett im Wasser ist, entspricht seiner Gewichtskraft abzüglich dem Auftrieb: \begin{align} F_1 &= \FG-\FA\\ &= mg -\rho_{\text{\scriptsize W}} V_{\text{\scriptsize ver}} g\\ &= \rho_{\text{\scriptsize P}} \cdot \pi r^2 h \cdot g - \rho_{\text{\scriptsize W}} \cdot \pi r^2 h \cdot g\\ &= (\rho_{\text{\scriptsize P}} - \rho_{\text{\scriptsize W}})\cdot \pi r^2 h \cdot g\\ &= \SI{6480}{N} - \SI{5400}{N}\\ &= \SI{1080}{N} \end{align} Der Durchschnitt der beiden Kräfte beträgt: \begin{align} \bar F &= \frac{F_1+F_2}{2}\\ &= \SI{3780}{N} \end{align} Mit dieser Kraft müssen $\SI{2}{m}$ zurückgelegt werden; das führt auf \begin{align} W &= \bar F \cdot h\\ &= \SI{7560}{J} \end{align} Arbeit, die geleistet werden müssen, um den Zylinder aus dem Wasser zu ziehen.\\ {\emph{Alternative Lösung mit Integralen:}} \begin{align} F(h) &= F_G - F_A(h)\\ &= mg - \rho_P V_v g\\ &= \rho_W V g -\rho_P V_v g\\ &= \rho_W \pi r^2 H g - \rho_P \pi r^2 (H-h) g\\ &= \pi r^2g \cdot \left(\rho_{\text{\scriptsize P}} H -\rho_{\text{\scriptsize W}} (h-H)\right). \end{align} Die Arbeit, um den Zylinder vollständig aus dem Wasser zu ziehen ist somit: \begin{align} W &= \int_0^H F(h) \, \mbox{d}h\\ &= \pi r^2g \cdot \int_0^H \left(\rho_W H -\rho_P (H-h)\right)\, \mbox{d}h\\ &= \pi r^2g \left[ \rho_W H h - \rho_P H h +\frac12\rho_P h^2\right]_0^H\\ &= \pi r^2g H^2\left(\rho_W -\frac12 \rho_P \right)\\ \cdot\pq{1180}{\kgpmk} \right)\\ &= \SI{7.56e3}{J}. \end{align}

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