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Exercise:
Seien ab in mathbbR zwei reelle Zahlen mit a b und sei f:ab rightarrow mathbbC eine stetige Funktion. Dann ist f beschränkt. Das heisst es existiert ein M in mathbbR mit |fx|leq M für alle x in ab.

Solution:
Beweis. Man definiert zuerst die Teilmenge X t in ab|f|_at textist beschränkt Da aaa gilt liegt a in X womit X subseteq ab eine nicht-leere beschränkte Teilmenge von mathbbR ist. Nach Satz . Supremum existiert daher das Supremum s_ textsupX von X. Des Weiteren muss s_ in ab liegen da zum einen a in X liegt und zum anderen X in ab enthalten ist und somit b eine obere Schranke ist. Man verwet die Stetigkeit von f bei s_ für epsilon wonach es ein delta gibt s.d. für alle x in ab die Implikation |x-s_| delta Longrightarrow |fx-fs_| gilt. Man definiere t_ textmaxa s_-delta und t_ textminb s_+delta womit |fx|leq |fx-fs_| + |fs_| + |fs_| für alle x in t_t_. Da s_-delta keine obere Schranke von X ist gibt es ein t in X mit t s_-delta. Daher ist f|_at beschränkt und es existiert ein M_ mit |fx| leq M_ für alle x in at. Es gilt t geq t_textmax a s_-delta und daher atcup t_t_at_. Auf Grund von Gleichung und der Wahl von M_ gilt somit |fx|leq textmaxM_ +|fs_||ft_| für alle x in at_. Man schliesst dass t_ in X liegt und t_ leq s_ gilt. Da aber t_ textmin b s_+delta per Definition muss t_b sein. Also ist f auf ab beschränkt.
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Seien ab in mathbbR zwei reelle Zahlen mit a b und sei f:ab rightarrow mathbbC eine stetige Funktion. Dann ist f beschränkt. Das heisst es existiert ein M in mathbbR mit |fx|leq M für alle x in ab.

Solution:
Beweis. Man definiert zuerst die Teilmenge X t in ab|f|_at textist beschränkt Da aaa gilt liegt a in X womit X subseteq ab eine nicht-leere beschränkte Teilmenge von mathbbR ist. Nach Satz . Supremum existiert daher das Supremum s_ textsupX von X. Des Weiteren muss s_ in ab liegen da zum einen a in X liegt und zum anderen X in ab enthalten ist und somit b eine obere Schranke ist. Man verwet die Stetigkeit von f bei s_ für epsilon wonach es ein delta gibt s.d. für alle x in ab die Implikation |x-s_| delta Longrightarrow |fx-fs_| gilt. Man definiere t_ textmaxa s_-delta und t_ textminb s_+delta womit |fx|leq |fx-fs_| + |fs_| + |fs_| für alle x in t_t_. Da s_-delta keine obere Schranke von X ist gibt es ein t in X mit t s_-delta. Daher ist f|_at beschränkt und es existiert ein M_ mit |fx| leq M_ für alle x in at. Es gilt t geq t_textmax a s_-delta und daher atcup t_t_at_. Auf Grund von Gleichung und der Wahl von M_ gilt somit |fx|leq textmaxM_ +|fs_||ft_| für alle x in at_. Man schliesst dass t_ in X liegt und t_ leq s_ gilt. Da aber t_ textmin b s_+delta per Definition muss t_b sein. Also ist f auf ab beschränkt.
Contained in these collections:

Attributes & Decorations
Tags
analysis, beweis, eth, hs22, proof, stetig
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Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Creator rk
Decoration