Beschränktheit
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
Question
Solution
Short
Video
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Exercise:
Seien ab in mathbbR zwei reelle Zahlen mit a b und sei f:ab rightarrow mathbbC eine stetige Funktion. Dann ist f beschränkt. Das heisst es existiert ein M in mathbbR mit |fx|leq M für alle x in ab.
Solution:
Beweis. Man definiert zuerst die Teilmenge X t in ab|f|_at textist beschränkt Da aaa gilt liegt a in X womit X subseteq ab eine nicht-leere beschränkte Teilmenge von mathbbR ist. Nach Satz . Supremum existiert daher das Supremum s_ textsupX von X. Des Weiteren muss s_ in ab liegen da zum einen a in X liegt und zum anderen X in ab enthalten ist und somit b eine obere Schranke ist. Man verwet die Stetigkeit von f bei s_ für epsilon wonach es ein delta gibt s.d. für alle x in ab die Implikation |x-s_| delta Longrightarrow |fx-fs_| gilt. Man definiere t_ textmaxa s_-delta und t_ textminb s_+delta womit |fx|leq |fx-fs_| + |fs_| + |fs_| für alle x in t_t_. Da s_-delta keine obere Schranke von X ist gibt es ein t in X mit t s_-delta. Daher ist f|_at beschränkt und es existiert ein M_ mit |fx| leq M_ für alle x in at. Es gilt t geq t_textmax a s_-delta und daher atcup t_t_at_. Auf Grund von Gleichung und der Wahl von M_ gilt somit |fx|leq textmaxM_ +|fs_||ft_| für alle x in at_. Man schliesst dass t_ in X liegt und t_ leq s_ gilt. Da aber t_ textmin b s_+delta per Definition muss t_b sein. Also ist f auf ab beschränkt.
Seien ab in mathbbR zwei reelle Zahlen mit a b und sei f:ab rightarrow mathbbC eine stetige Funktion. Dann ist f beschränkt. Das heisst es existiert ein M in mathbbR mit |fx|leq M für alle x in ab.
Solution:
Beweis. Man definiert zuerst die Teilmenge X t in ab|f|_at textist beschränkt Da aaa gilt liegt a in X womit X subseteq ab eine nicht-leere beschränkte Teilmenge von mathbbR ist. Nach Satz . Supremum existiert daher das Supremum s_ textsupX von X. Des Weiteren muss s_ in ab liegen da zum einen a in X liegt und zum anderen X in ab enthalten ist und somit b eine obere Schranke ist. Man verwet die Stetigkeit von f bei s_ für epsilon wonach es ein delta gibt s.d. für alle x in ab die Implikation |x-s_| delta Longrightarrow |fx-fs_| gilt. Man definiere t_ textmaxa s_-delta und t_ textminb s_+delta womit |fx|leq |fx-fs_| + |fs_| + |fs_| für alle x in t_t_. Da s_-delta keine obere Schranke von X ist gibt es ein t in X mit t s_-delta. Daher ist f|_at beschränkt und es existiert ein M_ mit |fx| leq M_ für alle x in at. Es gilt t geq t_textmax a s_-delta und daher atcup t_t_at_. Auf Grund von Gleichung und der Wahl von M_ gilt somit |fx|leq textmaxM_ +|fs_||ft_| für alle x in at_. Man schliesst dass t_ in X liegt und t_ leq s_ gilt. Da aber t_ textmin b s_+delta per Definition muss t_b sein. Also ist f auf ab beschränkt.
Meta Information
Exercise:
Seien ab in mathbbR zwei reelle Zahlen mit a b und sei f:ab rightarrow mathbbC eine stetige Funktion. Dann ist f beschränkt. Das heisst es existiert ein M in mathbbR mit |fx|leq M für alle x in ab.
Solution:
Beweis. Man definiert zuerst die Teilmenge X t in ab|f|_at textist beschränkt Da aaa gilt liegt a in X womit X subseteq ab eine nicht-leere beschränkte Teilmenge von mathbbR ist. Nach Satz . Supremum existiert daher das Supremum s_ textsupX von X. Des Weiteren muss s_ in ab liegen da zum einen a in X liegt und zum anderen X in ab enthalten ist und somit b eine obere Schranke ist. Man verwet die Stetigkeit von f bei s_ für epsilon wonach es ein delta gibt s.d. für alle x in ab die Implikation |x-s_| delta Longrightarrow |fx-fs_| gilt. Man definiere t_ textmaxa s_-delta und t_ textminb s_+delta womit |fx|leq |fx-fs_| + |fs_| + |fs_| für alle x in t_t_. Da s_-delta keine obere Schranke von X ist gibt es ein t in X mit t s_-delta. Daher ist f|_at beschränkt und es existiert ein M_ mit |fx| leq M_ für alle x in at. Es gilt t geq t_textmax a s_-delta und daher atcup t_t_at_. Auf Grund von Gleichung und der Wahl von M_ gilt somit |fx|leq textmaxM_ +|fs_||ft_| für alle x in at_. Man schliesst dass t_ in X liegt und t_ leq s_ gilt. Da aber t_ textmin b s_+delta per Definition muss t_b sein. Also ist f auf ab beschränkt.
Seien ab in mathbbR zwei reelle Zahlen mit a b und sei f:ab rightarrow mathbbC eine stetige Funktion. Dann ist f beschränkt. Das heisst es existiert ein M in mathbbR mit |fx|leq M für alle x in ab.
Solution:
Beweis. Man definiert zuerst die Teilmenge X t in ab|f|_at textist beschränkt Da aaa gilt liegt a in X womit X subseteq ab eine nicht-leere beschränkte Teilmenge von mathbbR ist. Nach Satz . Supremum existiert daher das Supremum s_ textsupX von X. Des Weiteren muss s_ in ab liegen da zum einen a in X liegt und zum anderen X in ab enthalten ist und somit b eine obere Schranke ist. Man verwet die Stetigkeit von f bei s_ für epsilon wonach es ein delta gibt s.d. für alle x in ab die Implikation |x-s_| delta Longrightarrow |fx-fs_| gilt. Man definiere t_ textmaxa s_-delta und t_ textminb s_+delta womit |fx|leq |fx-fs_| + |fs_| + |fs_| für alle x in t_t_. Da s_-delta keine obere Schranke von X ist gibt es ein t in X mit t s_-delta. Daher ist f|_at beschränkt und es existiert ein M_ mit |fx| leq M_ für alle x in at. Es gilt t geq t_textmax a s_-delta und daher atcup t_t_at_. Auf Grund von Gleichung und der Wahl von M_ gilt somit |fx|leq textmaxM_ +|fs_||ft_| für alle x in at_. Man schliesst dass t_ in X liegt und t_ leq s_ gilt. Da aber t_ textmin b s_+delta per Definition muss t_b sein. Also ist f auf ab beschränkt.
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