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Exercise:
Bestimme das Supremum von fxyx-y über * E leftxy:x^+y^le right. *

Solution:
Der Gradient der Funktion fxyx-y ist nabla fxy leftarrayc-arrayright &neq Da der Gradient nirgs verschwindet kann das Maximum nicht im Innern der Ellipse x^+y^ angenommen werden. Es muss also auf der Ellipse liegen. Mit Lagrange finden wir gxy;lambda fxy + lambdax^+y^ nabla gxy;lambda x^+y^ labellagrange. Die zweite dieser drei Gleichungen liefert nabla gxy;lambda leftarrayc-arrayright + lambda leftarraycxyarrayright &mustbe was auf lambda x - Rightarrow x-fraclambdaquadmboxbzw. labelxygl lambda y Rightarrow yfraclambdalabelxygl führt. Setzt man diese Ergebnisse nun in Gleichung reflagrange ein so kommt man auf x^+y^ fraclambda^leftfrac+fracright fraclambda^frac lambda pm sqrtfrac Setzt man das nun zurück ein also bei Gleichungen refxygl bzw. refxygl so gibt das x mp fracsqrtfrac y pm fracsqrtfrac. Das Maximum der Funktion x-y auf der Ellipse ist somit x-y sqrtfrac leftmpfrac mpfracright mp frac sqrtfrac was fracsqrt ergibt.
Meta Information
\(\LaTeX\)-Code
Exercise:
Bestimme das Supremum von fxyx-y über * E leftxy:x^+y^le right. *

Solution:
Der Gradient der Funktion fxyx-y ist nabla fxy leftarrayc-arrayright &neq Da der Gradient nirgs verschwindet kann das Maximum nicht im Innern der Ellipse x^+y^ angenommen werden. Es muss also auf der Ellipse liegen. Mit Lagrange finden wir gxy;lambda fxy + lambdax^+y^ nabla gxy;lambda x^+y^ labellagrange. Die zweite dieser drei Gleichungen liefert nabla gxy;lambda leftarrayc-arrayright + lambda leftarraycxyarrayright &mustbe was auf lambda x - Rightarrow x-fraclambdaquadmboxbzw. labelxygl lambda y Rightarrow yfraclambdalabelxygl führt. Setzt man diese Ergebnisse nun in Gleichung reflagrange ein so kommt man auf x^+y^ fraclambda^leftfrac+fracright fraclambda^frac lambda pm sqrtfrac Setzt man das nun zurück ein also bei Gleichungen refxygl bzw. refxygl so gibt das x mp fracsqrtfrac y pm fracsqrtfrac. Das Maximum der Funktion x-y auf der Ellipse ist somit x-y sqrtfrac leftmpfrac mpfracright mp frac sqrtfrac was fracsqrt ergibt.
Contained in these collections:

Attributes & Decorations
Tags
analysis, extrema, gradient, lagrange, lagrange-multiplikatoren, mathematik, nabla-operator, nebenbedingung, rotation, supremum
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Difficulty
(5, default)
Points
4 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Calculative / Quantity
Creator uz
Decoration
File
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