Axiome der reellen Zahlen
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
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Exercise:
Wie sind die reellen Zahlen definiert?
Solution:
Eine Menge mathbbR gemeinsam mit einer Abbildung +: mathbbRtimesmathbbRrightarrow mathbbR xy mapsto x+y die wir bf Addition nennen einer Abbildung : mathbbRtimesmathbbRrightarrow mathbbR xy mapsto x y die wir bf Multiplikation nennen und einer Relation leq auf mathbbR die wir bf kleiner gleich nennen wird als Menge der bf reellen Zahlen bezeichnet falls die folgen Axiome erfüllt sind: bf Axiome Addition - Abelsche Gruppe Nullelement exists in mathbbR forall x in mathbbR: x++xx Additives Inverses forall x in mathbbR exists -x in mathbbR:x+-x-x+x Assoziativgesetz forall xyz in mathbbR:x+y+zx+y+z Kommutativgesetz forall xy in mathbbR:x+yy+x bf Axiome Multiplikation - Einselement exists in mathbbRbackslash forall x in mathbbR: x xx Multiplikative Inverses forall x in mathbbRbackslash exists fracx in mathbbR:xfracxfracx x Assoziativgesetz forall xyz in mathbbR:x yzxy z Kommutativgesetz forall xy in mathbbR:x yy x bf Axiom Kompatibilität Addition und Multiplikation Distributivgesetz forall xyz in mathbbR:x+ yzx y+x z bf Axiome Anordnung - Reflexivität forall x in mathbbR: xleq x Antisymmetrie forall xy in mathbbR:xleq y land y leq xRightarrow xy Transitivität forall xyz in mathbbR:xleq y land yleq zRightarrow xleq z Linearität forall xy in mathbbR:xleq ylor yleq x bf Axiome Kompatibilität von leq - leq und + forall xyz in mathbbR: xleq yRightarrow x+zleq x+z leq und forall xy in mathbbR:leq x land leq yRightarrow leq x y bf Vollständigkeitsaxiom forall XY subset mathbbR: Xneq emptyset land Y neq emptyset land forall x in X forall y in Y: x leq yRightarrow exists c in mathbbRforall x in X forall y in Y:xleq cleq y In Worten: Falls XY zwei nicht-leere Teilmengen von mathbbR sind und für alle x in X und y in Y die Ungleichung xleq y gilt dann gibt es ein c in mathbbR das zwischen X und Y liegt in dem Sinn als dass für alle x in X und y in Y die Ungleichung xleq cleq y gilt. Notwig Teilmengen der reellen Zahlen zu betrachten. Weiter darf man sich nicht auf liche Mengen beschränken ansonsten könnte man mittels Axiome - ein maximales Element der Menge finden welches erfüllt analog für minimales Element. Dieser Fall ist allerdings nicht eressant da man ja die Aussage einfach aus den anderen Axiomen herleiten könnte und somit Axiom nicht weiter spann wäre. Da die reellen Zahlen alle Axiome erfüllt bezeichnet man sie als bf vollständig angeordneten Körper.mathbbR hat quasi glqq keine Lückengrqq
Wie sind die reellen Zahlen definiert?
Solution:
Eine Menge mathbbR gemeinsam mit einer Abbildung +: mathbbRtimesmathbbRrightarrow mathbbR xy mapsto x+y die wir bf Addition nennen einer Abbildung : mathbbRtimesmathbbRrightarrow mathbbR xy mapsto x y die wir bf Multiplikation nennen und einer Relation leq auf mathbbR die wir bf kleiner gleich nennen wird als Menge der bf reellen Zahlen bezeichnet falls die folgen Axiome erfüllt sind: bf Axiome Addition - Abelsche Gruppe Nullelement exists in mathbbR forall x in mathbbR: x++xx Additives Inverses forall x in mathbbR exists -x in mathbbR:x+-x-x+x Assoziativgesetz forall xyz in mathbbR:x+y+zx+y+z Kommutativgesetz forall xy in mathbbR:x+yy+x bf Axiome Multiplikation - Einselement exists in mathbbRbackslash forall x in mathbbR: x xx Multiplikative Inverses forall x in mathbbRbackslash exists fracx in mathbbR:xfracxfracx x Assoziativgesetz forall xyz in mathbbR:x yzxy z Kommutativgesetz forall xy in mathbbR:x yy x bf Axiom Kompatibilität Addition und Multiplikation Distributivgesetz forall xyz in mathbbR:x+ yzx y+x z bf Axiome Anordnung - Reflexivität forall x in mathbbR: xleq x Antisymmetrie forall xy in mathbbR:xleq y land y leq xRightarrow xy Transitivität forall xyz in mathbbR:xleq y land yleq zRightarrow xleq z Linearität forall xy in mathbbR:xleq ylor yleq x bf Axiome Kompatibilität von leq - leq und + forall xyz in mathbbR: xleq yRightarrow x+zleq x+z leq und forall xy in mathbbR:leq x land leq yRightarrow leq x y bf Vollständigkeitsaxiom forall XY subset mathbbR: Xneq emptyset land Y neq emptyset land forall x in X forall y in Y: x leq yRightarrow exists c in mathbbRforall x in X forall y in Y:xleq cleq y In Worten: Falls XY zwei nicht-leere Teilmengen von mathbbR sind und für alle x in X und y in Y die Ungleichung xleq y gilt dann gibt es ein c in mathbbR das zwischen X und Y liegt in dem Sinn als dass für alle x in X und y in Y die Ungleichung xleq cleq y gilt. Notwig Teilmengen der reellen Zahlen zu betrachten. Weiter darf man sich nicht auf liche Mengen beschränken ansonsten könnte man mittels Axiome - ein maximales Element der Menge finden welches erfüllt analog für minimales Element. Dieser Fall ist allerdings nicht eressant da man ja die Aussage einfach aus den anderen Axiomen herleiten könnte und somit Axiom nicht weiter spann wäre. Da die reellen Zahlen alle Axiome erfüllt bezeichnet man sie als bf vollständig angeordneten Körper.mathbbR hat quasi glqq keine Lückengrqq
Meta Information
Exercise:
Wie sind die reellen Zahlen definiert?
Solution:
Eine Menge mathbbR gemeinsam mit einer Abbildung +: mathbbRtimesmathbbRrightarrow mathbbR xy mapsto x+y die wir bf Addition nennen einer Abbildung : mathbbRtimesmathbbRrightarrow mathbbR xy mapsto x y die wir bf Multiplikation nennen und einer Relation leq auf mathbbR die wir bf kleiner gleich nennen wird als Menge der bf reellen Zahlen bezeichnet falls die folgen Axiome erfüllt sind: bf Axiome Addition - Abelsche Gruppe Nullelement exists in mathbbR forall x in mathbbR: x++xx Additives Inverses forall x in mathbbR exists -x in mathbbR:x+-x-x+x Assoziativgesetz forall xyz in mathbbR:x+y+zx+y+z Kommutativgesetz forall xy in mathbbR:x+yy+x bf Axiome Multiplikation - Einselement exists in mathbbRbackslash forall x in mathbbR: x xx Multiplikative Inverses forall x in mathbbRbackslash exists fracx in mathbbR:xfracxfracx x Assoziativgesetz forall xyz in mathbbR:x yzxy z Kommutativgesetz forall xy in mathbbR:x yy x bf Axiom Kompatibilität Addition und Multiplikation Distributivgesetz forall xyz in mathbbR:x+ yzx y+x z bf Axiome Anordnung - Reflexivität forall x in mathbbR: xleq x Antisymmetrie forall xy in mathbbR:xleq y land y leq xRightarrow xy Transitivität forall xyz in mathbbR:xleq y land yleq zRightarrow xleq z Linearität forall xy in mathbbR:xleq ylor yleq x bf Axiome Kompatibilität von leq - leq und + forall xyz in mathbbR: xleq yRightarrow x+zleq x+z leq und forall xy in mathbbR:leq x land leq yRightarrow leq x y bf Vollständigkeitsaxiom forall XY subset mathbbR: Xneq emptyset land Y neq emptyset land forall x in X forall y in Y: x leq yRightarrow exists c in mathbbRforall x in X forall y in Y:xleq cleq y In Worten: Falls XY zwei nicht-leere Teilmengen von mathbbR sind und für alle x in X und y in Y die Ungleichung xleq y gilt dann gibt es ein c in mathbbR das zwischen X und Y liegt in dem Sinn als dass für alle x in X und y in Y die Ungleichung xleq cleq y gilt. Notwig Teilmengen der reellen Zahlen zu betrachten. Weiter darf man sich nicht auf liche Mengen beschränken ansonsten könnte man mittels Axiome - ein maximales Element der Menge finden welches erfüllt analog für minimales Element. Dieser Fall ist allerdings nicht eressant da man ja die Aussage einfach aus den anderen Axiomen herleiten könnte und somit Axiom nicht weiter spann wäre. Da die reellen Zahlen alle Axiome erfüllt bezeichnet man sie als bf vollständig angeordneten Körper.mathbbR hat quasi glqq keine Lückengrqq
Wie sind die reellen Zahlen definiert?
Solution:
Eine Menge mathbbR gemeinsam mit einer Abbildung +: mathbbRtimesmathbbRrightarrow mathbbR xy mapsto x+y die wir bf Addition nennen einer Abbildung : mathbbRtimesmathbbRrightarrow mathbbR xy mapsto x y die wir bf Multiplikation nennen und einer Relation leq auf mathbbR die wir bf kleiner gleich nennen wird als Menge der bf reellen Zahlen bezeichnet falls die folgen Axiome erfüllt sind: bf Axiome Addition - Abelsche Gruppe Nullelement exists in mathbbR forall x in mathbbR: x++xx Additives Inverses forall x in mathbbR exists -x in mathbbR:x+-x-x+x Assoziativgesetz forall xyz in mathbbR:x+y+zx+y+z Kommutativgesetz forall xy in mathbbR:x+yy+x bf Axiome Multiplikation - Einselement exists in mathbbRbackslash forall x in mathbbR: x xx Multiplikative Inverses forall x in mathbbRbackslash exists fracx in mathbbR:xfracxfracx x Assoziativgesetz forall xyz in mathbbR:x yzxy z Kommutativgesetz forall xy in mathbbR:x yy x bf Axiom Kompatibilität Addition und Multiplikation Distributivgesetz forall xyz in mathbbR:x+ yzx y+x z bf Axiome Anordnung - Reflexivität forall x in mathbbR: xleq x Antisymmetrie forall xy in mathbbR:xleq y land y leq xRightarrow xy Transitivität forall xyz in mathbbR:xleq y land yleq zRightarrow xleq z Linearität forall xy in mathbbR:xleq ylor yleq x bf Axiome Kompatibilität von leq - leq und + forall xyz in mathbbR: xleq yRightarrow x+zleq x+z leq und forall xy in mathbbR:leq x land leq yRightarrow leq x y bf Vollständigkeitsaxiom forall XY subset mathbbR: Xneq emptyset land Y neq emptyset land forall x in X forall y in Y: x leq yRightarrow exists c in mathbbRforall x in X forall y in Y:xleq cleq y In Worten: Falls XY zwei nicht-leere Teilmengen von mathbbR sind und für alle x in X und y in Y die Ungleichung xleq y gilt dann gibt es ein c in mathbbR das zwischen X und Y liegt in dem Sinn als dass für alle x in X und y in Y die Ungleichung xleq cleq y gilt. Notwig Teilmengen der reellen Zahlen zu betrachten. Weiter darf man sich nicht auf liche Mengen beschränken ansonsten könnte man mittels Axiome - ein maximales Element der Menge finden welches erfüllt analog für minimales Element. Dieser Fall ist allerdings nicht eressant da man ja die Aussage einfach aus den anderen Axiomen herleiten könnte und somit Axiom nicht weiter spann wäre. Da die reellen Zahlen alle Axiome erfüllt bezeichnet man sie als bf vollständig angeordneten Körper.mathbbR hat quasi glqq keine Lückengrqq
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