Exercise:
Wie sind die reellen Zahlen definiert?

Solution:
Eine Menge mathbbR gemeinsam mit einer Abbildung +: mathbbRtimesmathbbRrightarrow mathbbR xy mapsto x+y die wir bf Addition nennen einer Abbildung : mathbbRtimesmathbbRrightarrow mathbbR xy mapsto x y die wir bf Multiplikation nennen und einer Relation leq auf mathbbR die wir bf kleiner gleich nennen wird als Menge der bf reellen Zahlen bezeichnet falls die folgen Axiome erfüllt sind: bf Axiome Addition - Abelsche Gruppe Nullelement exists in mathbbR forall x in mathbbR: x++xx Additives Inverses forall x in mathbbR exists -x in mathbbR:x+-x-x+x Assoziativgesetz forall xyz in mathbbR:x+y+zx+y+z Kommutativgesetz forall xy in mathbbR:x+yy+x bf Axiome Multiplikation - Einselement exists in mathbbRbackslash forall x in mathbbR: x xx Multiplikative Inverses forall x in mathbbRbackslash exists fracx in mathbbR:xfracxfracx x Assoziativgesetz forall xyz in mathbbR:x yzxy z Kommutativgesetz forall xy in mathbbR:x yy x bf Axiom Kompatibilität Addition und Multiplikation Distributivgesetz forall xyz in mathbbR:x+ yzx y+x z bf Axiome Anordnung - Reflexivität forall x in mathbbR: xleq x Antisymmetrie forall xy in mathbbR:xleq y land y leq xRightarrow xy Transitivität forall xyz in mathbbR:xleq y land yleq zRightarrow xleq z Linearität forall xy in mathbbR:xleq ylor yleq x bf Axiome Kompatibilität von leq - leq und + forall xyz in mathbbR: xleq yRightarrow x+zleq x+z leq und forall xy in mathbbR:leq x land leq yRightarrow leq x y bf Vollständigkeitsaxiom forall XY subset mathbbR: Xneq emptyset land Y neq emptyset land forall x in X forall y in Y: x leq yRightarrow exists c in mathbbRforall x in X forall y in Y:xleq cleq y In Worten: Falls XY zwei nicht-leere Teilmengen von mathbbR sind und für alle x in X und y in Y die Ungleichung xleq y gilt dann gibt es ein c in mathbbR das zwischen X und Y liegt in dem Sinn als dass für alle x in X und y in Y die Ungleichung xleq cleq y gilt. Notwig Teilmengen der reellen Zahlen zu betrachten. Weiter darf man sich nicht auf liche Mengen beschränken ansonsten könnte man mittels Axiome - ein maximales Element der Menge finden welches erfüllt analog für minimales Element. Dieser Fall ist allerdings nicht eressant da man ja die Aussage einfach aus den anderen Axiomen herleiten könnte und somit Axiom nicht weiter spann wäre. Da die reellen Zahlen alle Axiome erfüllt bezeichnet man sie als bf vollständig angeordneten Körper.mathbbR hat quasi glqq keine Lückengrqq