Exercise:
Ein Massenpunkt bewege sich mit konstanter Bahngeschwindigkeit auf einer Spirale d.h. auf der Oberfläche eines Zylinders mit Radius R und der Zylinderachse auf der z-Achse. Die ersten Ableitungen der Komponenten seines zeitabhängigen Ortsvektors vecr pmatrix dotx doty dotz pmatrix lauten: dotxt fracdiff xdiff t -Romega sinomega t dotyt fracdiff ydiff t Romega cosomega t dotzt fracdiff zdiff t v_z Die ersten Ableitungen entsprechen den Geschwindigkeiten bezüglich der x y z Richtung. Die Winkelgeschwindigkeit omega sowie v_z sind konstant. abcliste abc Bestimmen Sie die zeitabhängigen Koordinaten xt yt und zt. Interpretieren Sie die auftreten Integrationskonstanten. Einige dieser Konstanten sind bereits festgelegt da die Bewegung auf einem Zylindermantel stattfindet. abc Berechnen Sie die Länge des zurückgelegten Weges Delta s entlang der Spirale. abcliste

Solution:
abcliste abc Um die Komponenten des zeitabhängigen Ortsvektors vecr zu erhalten egrieren wir die Gleichungen dotxt fracdiff xdiff t -Romega sinomega t dotyt fracdiff ydiff t Romega cosomega t dotzt fracdiff zdiff t v_z über die Zeit t. Wir nen mit der z-Komponente: zt v_zt+c_z c_z textconst. Die Grösse zt ist die zeitabhängige Verschiebung in z-Richtung. Die Integrationskonstante c_z stellt den Anfangswert von z dar d.h. ztc_z. Zur x-Komponente: xt Rcosomega t+c_x c_x textconst. Die Integrationskonstante c_x muss gleich Null sein Vorstellung Koordinatensystem man startet Auf der y-Achse somit ist x da die Bewegung mit konstanter Bahngeschwindigkeit auf einer Zylinderoberfläche stattfinden soll. Das bedeutet dass immer gelten muss xt^+yt^ R^. Für die y-Komponente ergibt sich analog: yt Rsinomega t Der gesuchte zeitabhängige Ortsvektor lautet also: vecr pmatrix Rcosomega t Rsinomega t v_zt+c_z pmatrix abc Die Länge der Spirale berechnet sich aus Delta s _Gamma sqrtddx^+ddy^+ddz^ ddx _t_^t sqrtdotx^+doty^+dotz^ ddtau^ Mit den obigen Werten folgt: Delta st _t_^t sqrtR^omega ^sin^omega t+cos^omega tau+v_z^ ddtau sqrtR^omega ^+v_z^ _t_^t ddtau sqrtR^omega ^+v_z^t-t_ sqrtR^omega ^+v_z^t abcliste