Exercise:
abcliste abc Was besagt der Mittelwertsatz? abc Beweisen Sie. abcliste

Solution:
abcliste abc Sei ab ein kompaktes abgeschlossenes und beschränktes Intervall mit a b und f:ab rightarrow mathbbR eine stetige Funktion die auf dem offenen Intervall ab differenzierbar ist. Dann gibt es ein xi in ab mit f'xi fracfb-fab-a. Somit gibt es also mindestens einen Punkt xi an dem die Steigung f'xi der durchschnittlichen Steigung fracfb-fab-a also der Steigung der Sekante durch afa und bfb entspricht. abc Der Beweis des Mittelwertsatzes adaptiert die Werte von f auf eine affin lineare Weise um danach den Satz von Rolle anwen zu können. In der Tat behandelt der Satz von Rolle genau den Spezialfall fafb des Mittelwertsatzes. bf Satz von Rolle Sei ab ein kompaktes Intervall mit a b und f:ab rightarrow mathbbR eine stetige Funktion die auf dem offenen Intervall ab differenzierbar ist. Falls fafb gilt so existiert ein xi in ab mit f'xi. Satz besagt also eigentlich dass bei einer Funktion welche bei Endpunkten a und b den gleichen Wert annimmt d.h. fafb irgwo zwischen a und b die Steigung Null sein muss sinnvoll weil wenn Fkt z.B. monoton wachs würde der Wert sonst glqq nicht wieder runterkommengrqq. Beweis Satz von Rolle. Nach dem Extremwertsatz werden Minimum und Maximum von f auf ab angenommen. Das heisst es existieren x_min x_max in ab mit fx_min textmin fabquad fx_max textmax fab. Es gilt dass die Ableitung von f bei allen Punkten in ab wo ein Extremum angenommen wird Null sein muss. Falls also x_min in ab oder x_max in ab gilt dann hat man bereits ein xi in ab gefunden mit f'xi wobei xix_min oder xix_max. Falls aber x_min und x_max Endpunkte des Intervalles sind dann muss wegen fafb auch fx_minfx_max gelten womit die Funktion f konstant unf f'x für alle x in ab ist. Beweis Mittelwertsatz. Man definiere eine Funktion F:abrightarrow mathbbR durch Fx fx-fracfb-fab-ax-a für alle x in ab. Dann gilt Fafa und Fbfbfb-fb-fafa. Des Weiteren ist F stetig an den Endpunkten und differenzierbar auf ab. Nach dem Satz von Rolle existiert also ein xi in ab mit F'xi f'xi-fracfb-fab-a was zu zeigen war. abcliste