Exercise:
abcliste abc Wie ist das Supremum definiert? abc Durch welche Eigenschaften wird es charakterisiert? abc Beweisen Sie. abcliste

Solution:
abcliste abc Sei X subset mathbbR eine von oben beschränkte nicht-leere Teilmenge. Dann gibt es eine bf kleinste obere Schranke von X die auch das bf Supremum supX von X genannt wird. abc Formal gelten für s_textsupX folge Eigenschaften: forall x in X: x leq s_quad texts_ ist eine obere Schranke forall s in mathbbR: forall x in X: xleq s Rightarrow s_leq s s_ ist kleiner gleich jeder oberen Schranke Äquivalenterweise kann s_textsupX auch durch die erste Bedingung und die folge definiert werden: forall epsilon quad exists x in X: x s_-epsilon Kleinere Zahlen sind keine oberen Schranken Des Weiteren gilt: itemize item Falls das Maximum x_textmaxX existiert dann ist x_ eine obere Schranke von X und ist vielmehr auch die kleinste obere Schranke also textmaxXtextsupX. Denn aus x_ in X folgt x_ leq s für jede obere Schranke s von X. item Wenn das Supremum textsupX in X liegt dann ist textsupXtextmaxX da das Supremum eine obere Schranke ist. Also ist das Supremum eine Verallgemeinerung des Maximums einer Menge. Rightarrow Jedes max ist ein sup aber nicht jedes sup ist ein max. item Die Formulierung glqq kleinste obere Schrankegrqq ist Synonym für das Minimum der oberen Schranken und ist dadurch eindeutig bestimmt falls es existiert. itemize abc Beweis. Nach Annahme ist X nicht-leer und die Menge der oberen Schranken Ys in mathbbR| forall x in X: x leq s ist ebenfalls nicht leer. Des Weiteren gilt für alle x in X s in Y die Ungleichung x leq s. Nach dem bf Vollständigkeitsaxiom folgt daher dass es ein c in mathbbR gibt für das xleq c leq s für alle x in X und s in Y. Aus der ersten Ungleichung folgt dass c eine obere Schranke von X ist und daher erfüllt c sowohl als auch . Man zeigt nun noch dass das Supremum auch durch und charakterisiert wird. Also angenommen s_textsupX und epsilon dann ist s_-epsilon s_. Daher kann s_-epsilon keine obere Schranke sein und es existiert ein x in X mit x s_-epsilon. Daher erfüllt s_ auch . Erfüllt t_ in mathbbR nun und so ist t_ eine obere Schranke und daher ist s_ leq t_ nach Definition von s_textsupX. Falls s_ t_ wäre dann wäre s_t_-epsilon für ein epsilon . Nach der zweiten Eigenschaft von t_ gäbe es ein x in X mit x s_ was der Definition von s_ als kleinste obere Schranke widerspricht. Deswegen muss t_s_ gelten und s_ ist eindeutig durch die Bedingungen und bestimmt. abcliste