Beweis Zwischenwertsatz
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Exercise:
abcliste abc Wie lautet der Zwischenwertsatz? abc Beweisen Sie. abcliste
Solution:
abcliste abc Sei I subset mathbbR ein Intervall f:Irightarrow mathbbR eine stetige Funktion und ab in I. Für jedes c in mathbbR zwischen fa und fb gibt es ein x in mathbbR zwischen a und b so dass fxc gilt. Funktion kann keine Sprünge machen und die Funktion nimmt alle Werte zwischen fa und fb an. abc Beweis. Wir nehmen o.B.d.A. an dass a b und fa leq fb gilt falls fa fb ist betrachtet man zuerst -f und bemerkt dass die Aussage des Satzes für -f die Aussage des Satzes für f impliziert. Sei nun c in fafb. Falls cfa oder cfb gilt sind wir fertig. Also angenommen c in fafb. Wir definieren X x in ab | fxleq c und bemerken dass a in X weil ja unterster Punkt und X subset ab wodurch X nicht-leer und von oben beschränkt ist. Nach der Definition des Supremums existiert x_textsupX in ab. Wir werden nun die Stetigkeit von f bei x_ verwen um zu zeigen dass fx_c. Für jedes epsilon gibt es ein delta so dass für alle x in ab gilt |x-x_| delta Rightarrow |fx-fx_| epsilon Angenommen fx_ c. Dann folgt x_ b wegen fb c und x_ in ab. Wir wen nun die Stetigkeit von f bei x_ an und finden für epsilonc-fx_ und delta . Da x_ b ist existiert ein x in x_ x_+deltacapab. Für dieses x gilt dann fx fx_+fx-fx_ fx_+c-fx_c Also muss x in X liegen was aber supXx_ x widerspricht. Angenommen fx_ c. Dann folgt x_ a wegen fa c. Wir verwen wieder die Stetigkeit von f bei x_ und finden zu epsilonfx_-c ein delta mit der Eigenschaft in . Für x in x_-delta x_capab gilt dadurch fx fx_+fx-fx_ fx_-fx_-cc wodurch x notin X und daher x_-delta x_capabcap Xemptyset. Also ist x_-delta eine obere Schranke von X was aber x_textsupX widerspricht. Daher gilt fx_c und der Satz folgt. abcliste
abcliste abc Wie lautet der Zwischenwertsatz? abc Beweisen Sie. abcliste
Solution:
abcliste abc Sei I subset mathbbR ein Intervall f:Irightarrow mathbbR eine stetige Funktion und ab in I. Für jedes c in mathbbR zwischen fa und fb gibt es ein x in mathbbR zwischen a und b so dass fxc gilt. Funktion kann keine Sprünge machen und die Funktion nimmt alle Werte zwischen fa und fb an. abc Beweis. Wir nehmen o.B.d.A. an dass a b und fa leq fb gilt falls fa fb ist betrachtet man zuerst -f und bemerkt dass die Aussage des Satzes für -f die Aussage des Satzes für f impliziert. Sei nun c in fafb. Falls cfa oder cfb gilt sind wir fertig. Also angenommen c in fafb. Wir definieren X x in ab | fxleq c und bemerken dass a in X weil ja unterster Punkt und X subset ab wodurch X nicht-leer und von oben beschränkt ist. Nach der Definition des Supremums existiert x_textsupX in ab. Wir werden nun die Stetigkeit von f bei x_ verwen um zu zeigen dass fx_c. Für jedes epsilon gibt es ein delta so dass für alle x in ab gilt |x-x_| delta Rightarrow |fx-fx_| epsilon Angenommen fx_ c. Dann folgt x_ b wegen fb c und x_ in ab. Wir wen nun die Stetigkeit von f bei x_ an und finden für epsilonc-fx_ und delta . Da x_ b ist existiert ein x in x_ x_+deltacapab. Für dieses x gilt dann fx fx_+fx-fx_ fx_+c-fx_c Also muss x in X liegen was aber supXx_ x widerspricht. Angenommen fx_ c. Dann folgt x_ a wegen fa c. Wir verwen wieder die Stetigkeit von f bei x_ und finden zu epsilonfx_-c ein delta mit der Eigenschaft in . Für x in x_-delta x_capab gilt dadurch fx fx_+fx-fx_ fx_-fx_-cc wodurch x notin X und daher x_-delta x_capabcap Xemptyset. Also ist x_-delta eine obere Schranke von X was aber x_textsupX widerspricht. Daher gilt fx_c und der Satz folgt. abcliste