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https://texercises.com/exercise/homogene-lineare-differentialgleichungen-erster-ordnung/
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Exercise:
Beweisen Sie folge Aussage: Sei I subset mathbbR ein Intervall f:I rightarrow mathbbR eine Funktion und F:I rightarrow mathbbR eine Stammfunktion von f. Die Lösungen y:I rightarrow mathbbR der homogenen linearen Differentialgleichung erster Ordnung y'+fxy sind genau die Vielfachen der Funktion x in I mapsto e^-Fx

Solution:
Beweis. Für die Funktion y:x in I mapsto Ae^-Fx zu A in mathbbR gilt textcolorbluey'x Ae^-Fx-F'x -fxAe^-Fx textcolorblufxyx quad forall x in I somit gilt textcolorbluey'+fxy textcolorblufxyx+fxyx . Sei nun y eine beliebige Lösung der homogenen DGL y'+fxy . Man definiere die Funktion tildey:x in I mapsto e^Fxyx und berechne tildey'x e^Fxfxyx+e^Fxtextcolorbluey'xe^Fxfxyx-textcolorbluefxyx quad forall x in I. Daher ist auf Grund von Korollar . Ableitung von konstanten Funktionen ist tildeyA für eine Konstante A in mathbbR und somit yx e^-Fxtildeyx Ae^-Fxquad forall x in I wie gefordert.
Meta Information
\(\LaTeX\)-Code
Exercise:
Beweisen Sie folge Aussage: Sei I subset mathbbR ein Intervall f:I rightarrow mathbbR eine Funktion und F:I rightarrow mathbbR eine Stammfunktion von f. Die Lösungen y:I rightarrow mathbbR der homogenen linearen Differentialgleichung erster Ordnung y'+fxy sind genau die Vielfachen der Funktion x in I mapsto e^-Fx

Solution:
Beweis. Für die Funktion y:x in I mapsto Ae^-Fx zu A in mathbbR gilt textcolorbluey'x Ae^-Fx-F'x -fxAe^-Fx textcolorblufxyx quad forall x in I somit gilt textcolorbluey'+fxy textcolorblufxyx+fxyx . Sei nun y eine beliebige Lösung der homogenen DGL y'+fxy . Man definiere die Funktion tildey:x in I mapsto e^Fxyx und berechne tildey'x e^Fxfxyx+e^Fxtextcolorbluey'xe^Fxfxyx-textcolorbluefxyx quad forall x in I. Daher ist auf Grund von Korollar . Ableitung von konstanten Funktionen ist tildeyA für eine Konstante A in mathbbR und somit yx e^-Fxtildeyx Ae^-Fxquad forall x in I wie gefordert.
Contained in these collections:

Attributes & Decorations
Tags
analysis i, beweis, dgl, eth, hs22, proof
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Difficulty
(4, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Creator rk
Decoration
File
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