Exercise:
Ein Kettenstück mit mO Masse ist über einen dünnen Faden über zwei reibungsfreie Rollen gespannt vgl. Skizze links. Ein Kettene wird um hat y_ an einer Seite hochgehoben und anschliess losgelassen vgl. Skizze rechts. tikzsetpa/.style draw#!!black fill#! decorate with/.style decoratedecorationshape backgroundsshape#shape size.mm center tikzpicture pgfmathsetmacroheight pgfmathsetmacroradius pgfmathsetmacrochainleft. pgfmathsetmacrochainright. pgfmathsetmacrochainshift. drawdashed -*radiuschainright-height -- ++*radius noderight; drawvery thick -radius arc ::radius cm -- ++-height arc :-:radius cm -- ++height; fillblue circle radius cm; fillwhite circle .*radius cm; fillblue -height circle radius cm; fillwhite -height circle .*radius cm; drawdecorate withcircle pared -radiuschainleft-height -- ++-chainleft arc -::radius cm -- ++chainright; node at -height- ruhe Kette; pgfmathsetmacrochainleftchainleft-chainshift pgfmathsetmacrochainrightchainright+chainshift scopexshift*radius cm drawvery thick -radius arc ::radius cm -- ++-height arc :-:radius cm -- ++height; fillblue circle radius cm; fillwhite circle .*radius cm; fillblue -height circle radius cm; fillwhite -height circle .*radius cm; drawdecorate withcircle pared -radiuschainleft-height -- ++-chainleft arc -::radius cm -- ++chainright; drawthick snakebrace transform canvas xshiftmm radius chainright-height -- noderighthat y_ ++ -chainshift; drawthick snakebrace transform canvas xshift-mm -radius -height+chainleft -- nodelefthat y_ ++chainshift; nodecenter at -height- maximal ausgelenkte Kette; scope tikzpicture center abclist abc Zeige ausgeh von Kräftebetrachtungen dass unter Vernachlässigung jeglicher dämpfer Effekte die Kette mit der Kreisfrequenz al omega_ sqrtfracgell schwingt wobei g wie üblich die Erdbeschleunigung und ell die Kettenlänge sind. hfill abc Welche Länge hat die Kette wenn die Schwingungsdauer TO beträgt? Vernachlässige weiterhin jegliche dämpfen Effekte! hfill pawnB abc Würde die Kette auch noch harmonisch schwingen wenn man sie so stark auslenken würde dass die ganze Kette auf der rechten Seite überhalb der Rolle wäre? Begründe deine Antwort. hfill abclist Wir nehmen nun an dass die Kette durch eine zur Geschwindigkeit proportionale Kraft der Form al sscFD -b v gedämpft wird. Die Position des obersten rechten Kettenglieds zum Zeitpunkt t nach dem Loslassen kann im schwach gedämpften Fall als al yt hat y_ e^-delta t cosomega t labelpositionsfunktion geschrieben werden. abclist setcounterabc setcounterenumii abc Unter welcher Bedingung handelt es sich um einen schwach gedämpften Fall? hfill abc Weshalb enthält die Positionsfunktion eine Cosinus- und nicht eine Sinusfunktion? hfill abc Welche weiteren Fälle gibt es neben dem schwach gedämpften Fall? Nenne sie und notiere die Bedingung unter der der entspreche Fall eritt. hfill abc Wie hängen b delta omega_ und omega zusammen? hfill abc Wie muss die Proportionalitätskonstante b gewählt werden damit bei einer anfänglichen Auslenkung von hyoO die Amplitude nach tO nur noch hyO betragen würde? Die in Teilaufgabe b berechnete Anfangsamplitude darf in der formalen Lösung direkt benutzt werden! hfill rookB abc Bestimme die Geschwindigkeitsfunktion der Kette durch Ableitung der Positionsfunktion nach der Zeit. Vereinfache die Funktion so weit wie möglich. hfill abc Skizziere die Position des obersten rechten Kettenglieds in Abhängigkeit der Zeit. hfill abclist center tikzpicture tkzInitxmin xmax xstep ymin- ymax ystep tkzGridsub subystep subxstep. tkzDrawXright labeldfractsis tkzDrawYabove labeldfracysicm tkzLabelX tkzLabelY %tkzFctvery thick darkred domain:hyoX**exp-bX/*mX*x*coswX*x %tkzFctvery thick Blue domain:hyoX**exp-bX/*mX*x %tkzFctvery thick Blue domain:-hyoX**exp-bX/*mX*x tikzpicture center

Solution:
abclist abc Wenn die Kette rechts um y ausgelenkt wird dann sinkt sie links automatisch um y. Die Masse des y langen Kettenstückes beträgt al m M fracyell. Dieses übt die rücktreibe Kraft aus: al sscFres -sscFG -m g M a -M fracg yell a -underbracefracgell_omega_^ quad y. abc al ell LF frac ncgqtywo^ L approx LS abc Nein weil dann für eine kurze Zeit die Kraft konstant wäre und es somit nicht möglich ist die Gleichung in die Form a -omega_^ y zu bringen. abc Unter der Bedingung omega_ delta. abc Die Schwingung startet bei der maximalen Auslenkung. Für die Sinusfunktion müsste sie in der Ruhelage starten. abc Aperiodischer Grenzfall: omega_ delta Kriechfall: omega_ delta abc al delta fracbm quad omega sqrtomega_^-delta^ abc al hat y hat y_ e^-delta t delta -fract lnfrachat yhat y_ b bF -frac mt lnfrachyhyo b approx bS abc Unter Verwung der Kettenregel kann die Geschwindigkeitsfunktion bestimmt werden: al dot yt hat y_ qtyqty-delta e^-delta t cosomega t + e^-delta t qty-omega sinomega t dot yt -hat y_ e^-delta t qtydelta cosomega t + omega sinomega t abc phantom. center tikzpicture tkzInitxmin xmax xstep ymin- ymax ystep tkzGridsub subystep subxstep. tkzDrawXright labeldfractsis tkzDrawYabove labeldfracysicm tkzLabelX tkzLabelY tkzFctvery thick darkred domain:hyoX**exp-bX/*mX*x*coswX*x tkzFctvery thick Blue domain:hyoX**exp-bX/*mX*x tkzFctvery thick Blue domain:-hyoX**exp-bX/*mX*x tikzpicture center abclist