Exercise:
Ein Kletterer mO stürzt an einer riskanten Stelle vertikal und passiert mit hvO die Ruhelage des Sicherungsseils welches als elastische Feder mit DO Federkonstante angesehen werden kann. Nach tO gemessen seit dem ersten Durchgang durch die Ruhelage ist der Sturz praktisch vorüber d.h. die Schwingungsamplitude beträgt nur noch etO des Maximums. abclist abc Zeige dass der Kletterer unter Vernachlässigung von Dämpfung harmonisch schwingen würde. hfill pawnB abc Beschreibe welche Kräfte abgesehen vom Luftwiderstand in der Ruhelage auf den Kletterer wirken und in welche Richtung sie zeigen. Ordne sie ausserdem nach ihrer Stärke. hfill abc Wie gross wäre die maximale Auslenkung des Kletterers unter Vernachlässigung der Dämpfung? hfill knightB abc Berechne die Dämpfungskonstante. Du darfst wie üblich davon ausgehen dass die Amplitude durch die Dämpfung exponentiell abnimmt. hfill rookB abc Zeige durch Rechnung dass die Schwingungsdauer des gedämpften Systems TS beträgt indem du das Ergebnis auf vier signifikante Stellen gerundet angibst. hfill bishopB abc Skizziere die Position des Kletterers mit Berücksichtigung der Dämpfung relativ zur Ruhelage im folgen Diagramm der Abbildung refdiag:position-afg. Gib an welche Richtung gemäss diesem Diagramm die positive ist. hfill abc Angenommen der Kletterer stürzte seitlich vom Seilverlauf und pelte danach wie ein Fadenpel. Würde es sich dann ohne Berücksichtigung der Dämpfung um eine harmonische Schwingung handeln? Begründe deine Antwort. hfill abclist figureH center tikzpicturescaleprv.nprv tkzInitxmin xmax xstep. ymin-. ymax. ystep. tkzGridsubsubxstep. subystep. tkzDrawXright labeldfractsis tkzDrawYabove labeldfracysim tkzLabelXY %tkzFctdarkred very thick samples domain:hyoX*exp-dX*x*sindegWX*x %tkzFctBlue very thick samples domain:hyoX*exp-dX*x %tkzFctBlue very thick samples domain:-*hyoX*exp-dX*x tikzpicture center captionPosition des Kletterers in Abhängigkeit der Zeit. labeldiag:position-afg figure

Solution:
Geg m mO m hat v hvO hv D DO D t tO eta etO et % abclist abc Kräfte auf Kletterer: Gewichtskraft sscFG und Federkraft sscFF daraus folgt für resultiere Kraft al sscFres fracFG - sscFF mg - Dy_ + y. In Gleichgewichtslage gilt mg Dy_ folglich al m a -D y a -fracDm y. abc Es wirken die Gewichtskraft des Kletterers nach unten und die Kraft des Sicherungsseils nach oben. In der Ruhelage sind beide gleich gross. abc GesAmplitudehat y sim % Die Kreisfrequenz beträgt im ungedämpften Fall al omega_ WoF sqrtfracDm Wo. Daraus lässt sich aus der maximalen Geschwindigkeit die Amplitude berechnen: al hat y_ frachat vomega_ frachat vWoF hyoF frachvWo hyo approx hyoS. % hat y_ hyoF &approx hyoS abc al hat y hat y_ e^-delta t delta dF quad eta frachat yhat y_ -fract lnet d approx dS abc GesSchwingungsdauerT sis % Die Kreisfrequenz des ungedämpften Systems beträgt vgl. Teilaufgabe d al omega_ WoF sqrtfracDm Wo die Dämpfungskonstante vgl. Teilaufgabe e al delta dF quad eta frachat yhat y_ -fract lnet d. Die Schwingungsdauer der ungedämpften Systems ist somit al T fracpisqrtomega_^-delta^ fracpisqrtqtyWoF^-qtydF^ TF fracpisqrtqtyWo^-qtyd^ T. % T TF T abc Positive Richtung nach unten. Diagramm in Abbildung refdiag:position-lsg. figureH center tikzpicturescaleprv.nprv tkzInitxmin xmax xstep. ymin-. ymax. ystep. tkzGridsubsubxstep. subystep. tkzDrawXright labeldfractsis tkzDrawYabove labeldfracysim tkzLabelXY tkzFctdarkred very thick samples domain:hyoX*exp-dX*x*sindegWX*x tkzFctBlue very thick samples domain:hyoX*exp-dX*x tkzFctBlue very thick samples domain:-*hyoX*exp-dX*x tikzpicture center captionPosition des Kletterers in Abhängigkeit der Zeit. labeldiag:position-lsg figure abc Ein Fadenpel schwingt nur für kleine Amplituden harmonisch. Im Falle dieses Sturzes ist das also abhängig davon wie weit entfernt vom Seilverlauf der Kletterer stürzt. Im Allgemeinen ist die Schwingung somit nicht harmonisch. abclist % Korrekturhinweise abclist abc Punkt für formale Lösung Einsetzen Ergebnis; plus Darstellungspunkt abc je nach Umfang oder Punkte für korrekten Aspekt abc Punkt pro Kraft Punkt für Vergleich abc Punkt für ENTWEDER Gegeben ODER Grössen einsetzen Punkt für Gesucht Punkte für formale Lösung Punkt für Ergebnis abc pro Zeile Punkt abc Punkt für ENTWEDER Gegeben ODER Grössen einsetzen Punkt für Gesucht Punkte für formale Lösung Punkt für Ergebnis abc je Punkt für korrekten Startpunkt Frequenz Verlauf der ganzen Funktion; Punkte für Einhülle abc Punkteverteilung nach Umfang der Erläuterung abclist