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Tags alkohol, dichte, masse, mechanik, nordhäuser doppelkorn, physik, schnaps, volumen, volumenprozent Difficulty Points 3 Language Type Quantity Last modified 7 months, 3 weeks ago Initial Version by Urs Zellweger (urs)	Dichte II (patrik) Dichte 2 (urs) AG - Alkoholgetränk (urs)	0

Exercise

In einer Flasche \emph{Nordhäuser Doppelkorn} sind $\SI{7.00}{\deci\liter}$ Schnaps mit einer Alkoholkonzentration von 40.0 vol-$\%$ (Volumenprozent). Die Dichte von Alkohol beträgt $\SI{0.790}{\gram\per\cubic\centi\meter}$. $\star$ \begin{abcliste} \abc Wie viel Gramm reiner Alkohol befinden sich in der Flasche? \abc Wie gross ist die Dichte des Schnapses? \abc Wie viel Masseprozent Alkohol sind in dem Schnaps? \end{abcliste}

Short Solution

(a) $\SI{0.210}{kg}$ (b) $\SI{920}{\kilo\gram\per\cubic\meter}$ (c) 33\%

Solution

\Geg{ V &= \SI{7.00}{dl} = \SI{7.00e-4}{\cubic\meter} \\ \eta_V &= \SI{40.0}{\percent} = \num{0.400} \\ \ssc{\rho}{A} &= \SI{0.790}{\gram\per\cubic\centi\meter} = \SI{790}{\kgpmk} } \begin{abcliste} \abc \Ges{Masse Alkohol}{[m_{\rm A}] = \si{g}} Wenn der Schnaps 40 Volumenprozent Alkohol hat, so sind \begin{align} V_{\text{\scriptsize A}} &= \eta_V \cdot V \\ &= 0.400 \cdot \SI{7.00e-4}{\cubic\meter}\\ &= \SI{2.80e-4}{\cubic\meter} \end{align} reiner Alkohol in der Flasche. Die Masse des Alkohols berechnet sich wie gewöhnlich über die Formel für die Dichte: \begin{align} m_{\text{\scriptsize A}} &= \rho_{\text{\scriptsize A}} \cdot V_{\text{\scriptsize A}} = \ssc{\rho}{A}\eta_V V\\ &= \SI{790}{\kilo\gram\per\cubic\meter} \cdot \SI{2.8e-4}{\cubic\meter}\\ &= \SI{0.2212}{kg}\\ &= \SI{221}{g} \end{align} \Lsg{ m_{\rm A}&= \ssc{\rho}{A}\eta_VV \\ &= \SI{221}{g} } \abc \Ges{Dichte Schnaps}{[\rho] = \si{\kgpmk}} Vorausgesetzt, der Schnaps besteht nebst Alkohol aus Wasser (was in sehr guter Näherung gilt), so befindet sich \begin{align} m_{\text{\scriptsize W}} &= \rho_{\rm W}\cdot V_{\text{\scriptsize W}} = \rho_{\rm W}\cdot (V-V_{\rm A})\\ &= \SI{1000}{\kilo\gram\per\cubic\meter} \cdot \SI{4.20e-4}{\cubic\meter}\\ &= \SI{0.420}{kg} \end{align} Wasser in der Flasche. Die Dichte des Schnapses beträgt damit: \begin{align} \rho &= \frac{m}{V} &= \frac{m_{\text{\scriptsize A}}+m_{\text{\scriptsize W}}}{V} = \frac{\ssc{\rho}{A}\eta_V V + \rho_{\rm W}V-\rho_{\rm W}V_{\rm A}}{V} = \frac{m_{\text{\scriptsize A}}+m_{\text{\scriptsize W}}}{V} = \ssc{\rho}{A}\eta_V + \rho_{\rm W}-\eta_V\rho_{\rm W} \\ &= \frac{\SI{0.2212}{kg}+\SI{0.420}{kg}}{\SI{7.00e-4}{\cubic\meter}}\\ &= \SI{916}{\kgpmk}. \end{align} \Lsg{ \rho &= \ssc{\rho}{A}\eta_V + \rho_{\rm W}-\eta_V\rho_{\rm W} \\ &= \SI{916}{\kgpmk} } \abc \Ges{Masseprozent}{[\eta_m] = \si{\percent}} Die Masse des Flascheninhalts ist -- wie oben bereits berechnet -- die Summe aus Wasser und Alkohol: \begin{align} m &= m_{\text{\scriptsize A}}+m_{\text{\scriptsize W}} = \ssc{\rho}{A}\eta_V V + \rho_{\rm W}V-\rho_{\rm W}V_{\rm A} \\ &= \SI{0.6412}{kg}. \end{align} Der \emph{Massen}anteil des Alkohols in Prozent beträgt demnach: \begin{align} p_{ m} &= \frac{m_{\text{\scriptsize A}}}{m} = \frac{\ssc{\rho}{A}\eta_VV}{\ssc{\rho}{A}\eta_V V + \rho_{\rm W}V-\rho_{\rm W}V_{\rm A}}\\ &= \frac{\SI{0.2212}{kg}}{\SI{0.6412}{kg}} \\ &= 0.345 = \SI{34.5}{\percent} \end{align} \Lsg{ \eta_m &= \frac{\ssc{\rho}{A}\eta_V}{\ssc{\rho}{A}\eta_V + \rho_{\rm W}-\rho_{\rm W}\eta_V} \\ &= \SI{34.5}{\percent} } \end{abcliste}

Revision Table

19:30, 16. Nov. 2019	lsg verbessert	Patrik Weber (patrik)	Current Version
21:47, 5. June 2019	star	Urs Zellweger (urs)	Compare with Current
14:31, 26. Dec. 2018	ggl/sig	Patrik Weber (patrik)	Compare with Current
16:53, 16. May 2017	si	Urs Zellweger (urs)	Compare with Current