Exercise:
abcliste abc Finden Sie eine lineare Ordnungsrelation leq auf mathbbC so dass: zleq w Rightarrow z+uleq w+u quad forall zwu in mathbbC. leq x land leq z Rightarrow leq xz quad forall x in mathbbR land z in mathbbC. abc Zeigen Sie dass es keine lineare Ordnungsrelation auf mathbbC gibt die mathbbC zu einem angeordneten Körper macht. Hinweis: Zeigen Sie dass − in jedem angeordenten Körper gilt. abcliste

Solution:
abcliste abc Wir definieren die folge Relation auf mathbbC. Seien z w in mathbbC. Wir schreiben z leq w falls Rez Rew oder Rez Rew und Imz leq Imw Dies ist die sogenannte lexikografische Ordnung. Wir behaupten dass leq eine lineare Ordnungsrelation auf mathbbC ist. Seien z a_ + b_i w a_ + b_i u a_ + b_i in mathbbC. bf Reflexivität: Das ist klar. bf Antisymmetrie: Nehme an dass z leq w und w leq z gilt. Wir zeigen z w. Aus z leq w und der Definition von leq auf mathbbC folgt es dass a_ leq a_ gilt. Anderseits folgt aus z leq w dass a_ leq a_ gilt. Somit ist a_ a_. Aus der gleichen Überlegung ergibt sich dass b_ b_.Dies zeigt zw. bf Transitivität: Nehme an dass z leq w und w leq u gilt. Wir zeigen z leq u . Aus der Definition von leq habenwir a_ leq a_ leq a_. Falls a_ a_ oder a_ a_ dann a_ a_ und somit z leq u . Falls a_ a_ a_ dann folgt aus der Definition von leq dass b_ leq b_ und b_ leq b_ gilt. Insbesondere b_ leq b_ und somit z leq u . bf Linearität: Gegeben z w wir zeigen dass mindestens z leq w oder w leq z gelten soll. Falls a_ a_ dann z leq w; falls a_ a_ dann w leq w. Falls a_ a_ konzentrieren auf die b_i’s: Falls b_ leq b_ dann z leq w; falls b_ leq b_ dann w leq z. Wir zeigen jetzt dass leq die Eigenschaften oben erfüllt. Bemerke dass z + u a_ +a_+b_ +b_i und w+ua_ +a_+b_ +b_i. Nehme an dass z leq w gilt. Wir haben zwei Fälle: itemize item a_ a_: Nach Addition von a_ haben wir a_ +a_ a_ +a_ und somit z + u leq w+u item a_ a_: In diesem Fall muss b_ leq b_ gelten. Nach Addition mit b_ erhalten wir b_ +b_ leq b_ +b_ und somit z+uleqw+u. itemize Sei x in mathbbR positiv und nehme an dass leq z gilt. Bemerke dass xz xa_ +xb_i. Wir haben zwei Fälle: itemize item a_ : In diesem Fall leq b_. Bemerke dass xa_ und leq xb_ gelten muss somit leq xz item leq a_: In diesem Fall leq xa_ und somit leq xz. itemize abc Wir zeigen zuerst dass falls leq die oben definierte Relation bezeichnet dann ist mathbbC leq kein angeordneten Körper. Seien z w i. Bemerke dass leq i da . Falls mathbbCleq ein angeordneter Körper wäre dann sollte aus Axiom i^ gelten aber i^ - und - und dies impliziert i^ . Das ist ein Widerspruch zur Definition von angeordneten Körper. Sei jetzt leq eine beliebige lineare Ordnungrelation auf mathbbC i.e. nicht zwing die obige Relation. Wir zeigen dass mathbbCleq kein angeordneten Körper ist. Wir folgen dem Hinweis und beweisen das folge Lemma: bf Lemma. Sei mathbbKleq ein angeordneter Körper. Dann -_K _K _K . bf Beweis. Nach Linearität von leq Axiom erhalten wir folge Fälle: itemize item leq und leq -. Wir benutzen Axiom xleq y Rightarrow x+zleq y+z mit x y und z - und erhalten - leq ein Widerspruch. item leq und - leq . Wir benutzen Axiom mit x - y und z und erhalten leq ein Widerspruch. item leq leq -. Wir benutzten Axiom leq xland leq y Rightarrow leq x y mit xy- und erhalten leq-^ ein Widerspruch. item - leq leq . Dies ist die einzige verbleibe Möglichkeit. itemize Dies beweist das Lemma da _K neq _K Axiom in der Definition von Körper. Wir nehmen an dass mathbbC leq angeordnet ist. Wir betrachten i in mathbbC. Nach Linearität von leq Axiom haben wir zwei Fälle: itemize item leq i. Nach Axiom erhalten wir mit xyi leq i^ -. Das ist ein Widerspruch zum obigen Lemma. item i leq . Nach Axiom erhalten wir mit x i y z -i leq -i. Aber dann leq -i^ - nach Axiom . itemize Wir haben gezeigt dass mathbbC leq kein angeordneten Körper sein kann. abcliste