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Tags dynamik, energieerhaltung, energieerhaltungssatz, geschwindigkeit, kinetische energie, kreis, mechanik, physik, potentielle energie, rotation, zentrifugalkraft, zentripetalkraft, énergie Difficulty Points 6 Language Type Quantity Last modified 10 months ago Initial Version by Urs Zellweger (urs)	AG - Todesspirale (urs) Dynamik am Kreis (urs)	0

Exercise

Der Kreis einer \glqq Todesspirale\grqq\ (bzw. eines Loopings) einer Achterbahn habe einen Radius von $\SI{5.00}{m}$. In welcher Höhe über dem tiefsten Punkt muss der Wagen losfahren, um sicher den Kreis zu durchlaufen (ohne Berücksichtigung von Reibung und Anfangsgeschwindigkeit)? $\star$

Solution

Die auf den Wagen wirkende \emph{Zentrifugalkraft} muss grösser sein, als die \emph{Gewichtskraft}, also: \begin{align} \frac{mv_{\mathrm{B}}^2}{r} &\ge mg\\ v_{\mathrm{B}} &\ge \sqrt{gr}\\ &= \sqrt{ \SI{9.81}{\meter\per\second\squared} \cdot \SI{5}{m} }\\ &\approx \SI{7}{\meter\per\second} \end{align} Die Geschwindigkeit im tiefsten Punkt C lässt sich mit dem Energieerhaltungssatz ausrech \begin{align} E_{\mathrm{C}} &= E_{\mathrm{B}}\\ \frac{mv_{\mathrm{C}}^2}{2} &= \frac{mv_{\mathrm{B}}^2}{2} + mg\cdot 2r\\ v_{\mathrm{C}} &= \sqrt{v_{\mathrm{B}}^2 + 4gr} \\ &\approx \SI{15.66}{\meter\per\second} \end{align} Wenn der Wagen in Punkt C diese Geschwindigkeit hat, dann hat er den Kreis sicher durchlaufen. Um nun die Höhe zu finden, die der Wagen anfänglich in Punkt A braucht, bedienen wir uns wieder des Energiesatzes. \begin{align} E_{\mathrm{A}} &\ge E_{\mathrm{C}}\\ mgh &\ge \frac{mv_{\mathrm{C}}^2}{2}\\ h &\ge \frac{v_{\mathrm{C}}^2}{2g}\\ &\ge 2.5\cdot r\\ &= \SI{12.5}{m} \end{align}

Revision Table