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Tags gleichungssystem, kraft, physik, strassenampel, trigonometrie, vektor Difficulty Points 4 Language Type Quantity Last modified 3 weeks, 2 days ago Initial Version by Urs Zellweger (urs)	Kraft als Vektor II (patrik) Kraft als Vektor 2 (urs) AG - Strassenampel (urs)	0

Exercise

Eine Strassenampel sei wie im Bild gezeichnet aufgehängt. Die Winkel sind $\alpha=\ang{50}$ und $\beta=\ang{40}$ und die Zugkraft im linken Seil betrage $\SI{300}{N}$. Berechne die Gewichtskraft der Strassenampel. $\star$ \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=.9] \filldraw[color=black, fill=black!50!white] (-3,0)--(3,0)--(3,-.2)--(-3,-.2)--cycle; \filldraw[color=black, fill=black!50!yellow] (-.2,-1.2)--(.2,-1.2)--(.2,-2.2)--(-.2,-2.2)--cycle; \filldraw[color=black, fill=red] (0,-1.4) circle(.1cm); \filldraw[color=black, fill=yellow] (0,-1.7) circle(.1cm); \filldraw[color=black, fill=green] (0,-2.0) circle(.1cm); \draw[thick] (-0.75,-.2)--(0,-1.2); \draw[thick] (1.33,-.2)--(0,-1.2); \draw (-.1,-.2) arc (0:-53:.65); \node at (-.35,-.37) {$\alpha$}; \draw (0.58,-.2) arc (180:217:.75); \node at (.83,-.38) {$\beta$}; \end{tikzpicture} \end{center}

Solution

\Geg{ \alpha &= \SI{50.0}{\degree} \\ \beta &= \SI{40.0}{\degree} \\ F_{\nwarrow} &= \SI{300}{N} } % \Ges{Gewichtskraft}{[\FG] = \si{N}} % Der Beitrag des linken Seils vertikal nach oben ist \al{ F_{\nwarrow,\uparrow} &= F_\nwarrow \cdot \sin\alpha \\ &= \SI{300}{N} \cdot \sin(\SI{50.0}{\degree}) \\ &= \SI{229.8}{N}. } Die Zugkraft im rechten Seil können wir aus der Bedingung berechnen, dass in horizontale Richtung ebenfalls Kräftegleichgewicht gelten muss: $F_\leftarrow \mustbe F_\rightarrow$: \al{ F_{\nearrow} &= \frac{F_\rightarrow}{\cos\beta} = F_\nwarrow \cdot \frac{\cos\alpha}{\cos\beta} \\ &= \SI{300}{N} \cdot \frac{\cos(\SI{50.0}{\degree})}{\cos(\SI{40.0}{\degree})} \\ &= \SI{251.7}{N}. } Daraus folgt für den Beitrag des rechten Seils vertikal nach oben \al{ F_{\nearrow,\uparrow} &= F_\nearrow \cdot \sin\beta = F_\nwarrow \cdot \frac{\cos\alpha}{\cos\beta} \cdot \sin\beta = F_\nwarrow \cos\alpha\tan\beta \\ &= \SI{251.7}{N} \cdot \sin\SI{40.0}{\degree} \\ &= \SI{161.8}{N}. } Die Gewichtskraft der Ampel ist dann \al{ \FG &= F_{\nwarrow,\uparrow} + F_{\nearrow,\uparrow} = F_\nwarrow \sin\alpha + F_\nwarrow \cos\alpha\tan\beta = F_\nwarrow(\sin\alpha +\cos\alpha\tan\beta) \\ &= \SI{229.8}{N} + \SI{161.8}{N} \\ &= \SI{391.6}{N}. } % \Lsg{ \FG &= F_\nwarrow(\sin\alpha +\cos\alpha\tan\beta) \\ &= \SI{392}{N} }

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