Trägheitsmoment eines Kegelstumpfes
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Exercise:
Berechne das Trägheitsmoment eines homogenen Kegelstumpfes der Masse m und der Höhe h dessen Grundfläche den Radius R_ und dessen Deckfläche den Radius R_ hat.
Solution:
Es ist sinnvoll sich zu Beginn die Situation zu veranschaulichen: center tikzpicture drawthick -.--.--.---.--cycle; draw -.----.; drawdashed --.; tikzpicture center Bezeichnen wir mit h die Höhe des Kegelstumpfes und mit H die Höhe des gesamten Kegels und sei h'H-h so findet man mittels Strahlensätzen: frach'R_fracHR_ fracH-hR_ fracHR_ H fracR_R_-R_ h Für das Volumen des Kegelstumpfes gilt dann: V hat V - V' fracpi R_^ H - fracpi R_^ H-h fracpi h leftR_R_+R_+R_^right Mit diesen Vorbereitungen gibt es nun zwei Möglichkeiten das Trägheitsmoment eines Kegelstumpfes zu finden: Entweder man egriert direkt und findet in Zylinderkoordinaten die entsprechen Integrationsgrenzen oder man nutzt dass man das Trägheitsmoment eines Kegels bereits kennt und zieht dann vom grossen Kegel mit der Höhe H das Trägheitsmoment mit des kleinen Kegels mit der Höhe h' ab. Diese Variante berechnen wir zuerst: I I_H-I_h' frac M R_^ - frac m' R_^ frac rho hat V R_^ - frac rho V' R_^ fracrho left hat V R_^-V'R_^right fracrho left fracpi R_^ H R_^-frac pi R_^ h' R_^right fracrho frac pi left R_^ H - R_^ h'right fracrho frac pi left R_^ H - R_^ H-hright && fracHR_frach'R_fracH-hR_ text Strahlensatz fracrho frac pi left R_^ fracR_R_-R_ h - R_^ fracR_R_-R_ h-hright fracrho frac pi h left R_^ fracR_R_-R_ - R_^ fracR_R_-R_-right fracrho frac pi h left fracR_^R_-R_-fracR_^R_R_-R_+R_^right frac rho fracpi h fracR_^-R_^R_^-R_^ fracR_^-R_^R_-R_ fracmfracR_^-R_^R_^-R_^
Berechne das Trägheitsmoment eines homogenen Kegelstumpfes der Masse m und der Höhe h dessen Grundfläche den Radius R_ und dessen Deckfläche den Radius R_ hat.
Solution:
Es ist sinnvoll sich zu Beginn die Situation zu veranschaulichen: center tikzpicture drawthick -.--.--.---.--cycle; draw -.----.; drawdashed --.; tikzpicture center Bezeichnen wir mit h die Höhe des Kegelstumpfes und mit H die Höhe des gesamten Kegels und sei h'H-h so findet man mittels Strahlensätzen: frach'R_fracHR_ fracH-hR_ fracHR_ H fracR_R_-R_ h Für das Volumen des Kegelstumpfes gilt dann: V hat V - V' fracpi R_^ H - fracpi R_^ H-h fracpi h leftR_R_+R_+R_^right Mit diesen Vorbereitungen gibt es nun zwei Möglichkeiten das Trägheitsmoment eines Kegelstumpfes zu finden: Entweder man egriert direkt und findet in Zylinderkoordinaten die entsprechen Integrationsgrenzen oder man nutzt dass man das Trägheitsmoment eines Kegels bereits kennt und zieht dann vom grossen Kegel mit der Höhe H das Trägheitsmoment mit des kleinen Kegels mit der Höhe h' ab. Diese Variante berechnen wir zuerst: I I_H-I_h' frac M R_^ - frac m' R_^ frac rho hat V R_^ - frac rho V' R_^ fracrho left hat V R_^-V'R_^right fracrho left fracpi R_^ H R_^-frac pi R_^ h' R_^right fracrho frac pi left R_^ H - R_^ h'right fracrho frac pi left R_^ H - R_^ H-hright && fracHR_frach'R_fracH-hR_ text Strahlensatz fracrho frac pi left R_^ fracR_R_-R_ h - R_^ fracR_R_-R_ h-hright fracrho frac pi h left R_^ fracR_R_-R_ - R_^ fracR_R_-R_-right fracrho frac pi h left fracR_^R_-R_-fracR_^R_R_-R_+R_^right frac rho fracpi h fracR_^-R_^R_^-R_^ fracR_^-R_^R_-R_ fracmfracR_^-R_^R_^-R_^