Exercise:
L"ose die folgen Aufgaben ohne unmittelbaren Einsatz des Taschenrechners. Achte auf eine formal korrekte Darstellung des L"osungswegs. enumerate itema Berechne displaystyle_^infty dfracxbig+x^big^ textdx. medskip itemb Berechne displaystyle lim_x to dfractexte^x -texte^-x - xx - sin x. medskip itemc L"ose die Gleichung z + operatornameRez + operatornameImz |z|^ + overlinez + texti f"ur z in mathbbC. medskip itemd Beschreibe die Differentialgleichung y^ + - x^+y' m"oglichst genau mit Fachausdr"ucken und l"ose das Anfangswertproblem f"ur y. enumerate

Solution:
enumerate itema Substititution u +x^ quadRightarrowquad textdu x textdx quadRightarrowquad textdx /x textdu edt _^infty dfracxbig+x^big^ textdx lim_atoinfty _^+a^ dfracxu^ fracx textdu lim_atoinfty frac_^+a^ dfracu^ textdu ex lim_atoinfty left-dfracuright_^+a^ lim_atoinfty leftdfrac - dfrac+a^ right frac ed hfill P itemb displaystylelim_x to texte^x -texte^-x - x lim_x to x - sin x Bernoulli-de l'H^opital medskip edt lim_x to dfractexte^x -texte^-x - xx - sin x lim_x to dfractexte^x + texte^-x - - cos x lim_x to dfractexte^x - texte^-xsin x lim_x to dfractexte^x + texte^-xcos x ed hfill P itemc Ansatz: z a + b texti edt z + operatornameRez + operatornameImz |z|^ + overlinez + texti a + b texti + a + b a^ + b^ + a - b texti + texti a^ + b^ - a - b quad textGleichung der Realteile b - quad textGleichung der Imaginärteile ed b Rightarrow a^- a aa- Rightarrow a_ a_ Rightarrow z_ texti z_ + texti hfill P itemd gew"ohnliche nichtlineare inhomogene separierbare DGL .~Ordnung hfill P medskip edt y^ + - x^+y' %ex % dfracy^ + dfractextdytextdx % dfracx^ + dfracy^ + textdy dfracx^ + textdx arctan y arctan x + C y tanarctan x + C textAWP: quad tanarctan + C quadRightarrowquad C pi/ y tanleftarctan x + pi/ right ed hfill P enumerate