Exercise:
Ein Tetraeder ist im Raum durch die Punkte AAxAyAz BBxByBz CCxCyCz DDxDyDz definiert. Welches Volumen hat er?

Solution:
center tikzpicturescale. pgfmathsetmacrofactor/sqrt; coordinate labelright:AAx Ay Az A at AxAyAz*factor; coordinate labelleft:BBx By Bz B at BxByBz*factor; coordinate labelabove:CCx Cy Cz C at CxCyCz*factor; coordinate labelbelow:DDx Dy Dz D at DxDyDz*factor; draw- -- noderight x; draw- -- nodeabove y; draw- -- nodebelow left z; draw- opacity. A--D--B--cycle; draw- opacity. A --D--C--cycle; draw- opacity. B--D--C--cycle; tikzpicture center pgfmathsetmacroarootax^+ay^+az^ pgfmathsetmacroaaroot^. pgfmathsetmacroV^.*a^/ Das Volumen eines Tetraeders kann mit der allgemeinen Formel für ein Spat ausgerechnet werden. V fracvmatrixdetpmatrixvecavecbveccpmatrixvmatrix Für diese Formel muss man jedoch noch die Richtungsvektoren von einem Beliebigen Punkt aus ausrechnen. In diesem Fall vom Punkt A. veca vecB-vecA pmatrixnumround-pad falseax numround-pad falseay numround-pad falseazpmatrix vecb vecD-vecA pmatrixnumround-pad falsebx numround-pad falseby numround-pad falsebzpmatrix vecc vecC-vecA pmatrixnumround-pad falsecx numround-pad falsecy numround-pad falseczpmatrix Jetzt muss man nur noch die Vektoren in die Formel einsetzen. V fracvmatrixveca times vecbveccvmatrix % fracvmatrixpmatrixaybz-azby azbx-axbz axby-aybxpmatrixpmatrixcx cy czpmatrixvmatrix fracvmatrixpmatrixnumround-pad falsecrossx numround-pad falsecrossy numround-pad falsecrosszpmatrixpmatrix numround-pad falsecx numround-pad falsecy numround-pad falseczpmatrix vmatrix fracvmatrixpmatrixvx vy vzpmatrixvmatrix fracsqrtnegSquarevx+negSquarevy+negSquarevz fracsqrtnumround-pad falsesqroot fracnumround-pad falseroot V numround-pad falseresult