Exercise:
Ein Quader gleitet reibungslos eine homogene Kugel und ein homogener Zylinder rollen ohne Rollreibung dieselbe Strecke einer schiefen Ebene abwärts. Alle Körper haben dieselbe Masse. Die Bewegung nt ohne Anfangsgeschwindigkeit. abcliste abc Welcher Körper trifft am untern Ende zuerst welcher zuletzt ein? abc Wie gross ist die Geschwindigkeit nach einer Strecke s auf einer schiefen Ebene mit Neigungswinkel theta? abc Wie lange benötigt jeder Körper dafür? abc Gib für die Kugel und den Zylinder das Verhältnis zwischen Rotations- und kinetischer Energie an. abcliste

Solution:
abcliste abc Derjenige Körper welcher die grösste Beschleunigung a erfährt trifft als erster unten ein. Es gilt also diese Beschleunigung a für alle Körper zu finden. Der Quader kann separat behandelt werden da gleitet und nicht rollt. Er wird mit einer Kraft parallel zur schiefen Ebene beschleunigt F_parallel mg sintheta Dadurch erfährt der Quader folge Beschleunigung: a_q fracFm g sintheta Würden die Kugel und der Zylinder nicht rollen würden sie ebenso stark beschleunigt und alle Körper träfen gleichzeitig unten ein. Dem ist aber nicht so. Kugel und Zylinder werden zwar auch durch die Kraft F_parallel angetrieben. Jedoch bewirkt diese Kraft nicht eine Beschleunigung sondern ein Drehmoment: M r F_parallel r mg sintheta Dieses Drehmoment lässt den Rotationskörper um seine Berührungsfläche mit der Ebene rotieren. Diese Berührungsstelle ist die Rotationsachse. Bezüglich dieser haben die Körper wegen des Satzes von Steiner folges Trägheitsmoment: J J_K + mr^ Dabei bezeichnet J_K das Trägheitsmoment des Körpers bezüglich seiner üblichen SymmetriDrehachse durch den Schwerpunkt bezeichnet. Daraus resultiert folge Winkelbeschleunigung: alpha fracMJ fracr mg sinthetaJ_K + mr^ Die lineare Beschleunigung des Körpers ist hiernach: a ralpha fracr^ mg sinthetaJ_K + mr^ g sintheta fracmr^J_K + mr^ Für einen beliebigen die Ebene hinuterrollen Körper gilt also wegen a_q g sintheta g sintheta fracmr^J_K + mr^ a dass dieser langsamer beschleunigt wird also der Quader weil J_K sobald sich ein Körper mit m neq dreht. Der Quader ist also am schnellsten unten. Danach folgt der Körper mit dem kleineren Trägheitsmoment Weil das Trägheitsmoment der Vollkugel leicht kleiner ist als jenes des Vollzylinders fracmr^ fracmr^ wird die Kugel vor dem Zylinder ereffen. Die Reihenfolge ist also Quader Kugel Zylinder. abc Die Geschwindigkeiten können mit dem Energieerhaltungssatz gefunden werden. itemize item Quader: Epot &mustbe Ekin mgh &mustbe fracmv_q^ mg ssintheta fracmv_q^ v_q sqrtgssintheta item Kugel: Epot &mustbe Ekin + Erot mgh &mustbe fracmv_k^ + frac J omega^ mg ssintheta fracmv_k^ + frac fracmr^ leftfracv_krright^ v_k sqrtfracv_q item Zylinder: Epot &mustbe Ekin + Erot mgh &mustbe fracmv_z^ + frac J omega^ mg ssintheta fracmv_z^ + frac fracmr^ leftfracv_zrright^ v_z sqrtfracv_q itemize abc Um eine Strecke s mit der Beschleunigung a zurückzulegen benötigt ein Körper wegen s fracat^quad mboxeine Zeit t sqrtfracsa. Das ist für die einzelnen Körper itemize item Quader: t_q sqrtfracsgsintheta item Kugel: t_k sqrt. t_q item Zylinder: t_z sqrt.t_q. itemize abc Das Verhältnis von Rotationsenergie zu kinetischer Energie ist fracErotEkin fracfrac J omega^fracmv^ fracJmr^. Das ist für die Kugel offensichtlich frac für den Zylinder frac. abcliste