Exercise:
Die folgen Teilaufgaben bf a. und bf b. zur Wärmelehre sind vollkommen unabhängig voneinander. enumerate item Das Volumen eines idealen -atomigen Gases konstante Stoffmenge: mol wird bei einer Anfangstemperatur von cel adiabatisch auf ein Drittel reduziert.mm Tipp: Für die molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen gilt: C_V fracfR. Für den Isentropenexponent gilt: kappa fracf+.mm Finden Sie jeweils die richtige Antwort. Pro Frage gibt es einen Punkt wenn die richtige Antwort und nur diese eine angekreuzt ist. enumerate item Wie viele Freiheitsgrade hat das Gas Vibrationen nicht inbegriffen? tabularm.cmm.cmm.cmm.cm Box quad & Box quad & Box quad & Box quad textkeinemm tabular item Welche Temperatur hat das Gas nach der Kompression ungefähr? tabularm.cmm.cmm.cmm.cm Box quad .cel &Box quad cel &Box quad cel &Box quad celmm tabular item Was gilt für die innere Energie U des Gases? tabularl Box quad U ist proportional zur Temperatur T des Gases.mm Box quad U ist proportional zum Volumen V des Gases.mm Box quad U hängt von T und V ab.mm Box quad U hängt weder von T noch von V ab.mm tabular item Was ist die Grössenordnung an mechanischer Arbeit die man für diesen Prozess von aussen aufwen muss? tabularm.cmm.cmm.cmm.cm Box quad ^-J & Box quad J & Box quad ^J & Box quad ^Jmm tabular enumerate item Betrachten Sie zwei Körper mit Anfangstemperatur T_^ bzw. T_^ welche die gleiche liche Wärmekapazität C haben. Die Temperatur des ersten Körpers sei zunächst grösser als die des zweiten also T_^ T_^.mm Man möchte nun das System die maximal mögliche Arbeit W_ges verrichten lassen. Dazu benutzt man die zwei Körper als Wärmereservoirs einer Carnot-Maschine die für jeden Zyklus i die infinitesimal kleine Arbeitsmenge W_i erbringt. Gleichzeitig ändert sich die Temperatur der beiden Körper um mathrmdT_ bzw. mathrmdT_. Dieser Carnot-Kreisprozess wird solange wiederholt bis sich die Temperaturen der beiden Körper auf die Endtemperatur T_ T_ T_E angeglichen haben.mm Aus dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik erhält man für einen Zyklus: labeleq:HS W_i + Q_i + Q_i wobei Q_in die währ der isothermen Expansion bzw. Kompression dem Körper n ab- bzw. zugeführten infinitesimalen Wärmemengen sind. enumerate item Erläutern Sie kurz und knapp wie sich die Gleichung refeq:HS herleiten lässt. ~Pkt item Aus der Definition der Wärmekapazität gilt: labeleq:C Q_in CmathrmdT_n. Stellen Sie nun eine Beziehung zwischen den Endtemperaturen T_ und T_ und den Temperaturänderungen pro Zyklus mathrmdT_ und mathrmdT_ her. ~Pktemm Tipp: Verwen Sie dazu sowohl die Definition des Wirkungsgrades als auch den Carnot-Wirkungsgrad. item Berechnen Sie die Endtemperatur T_E in Abhängigkeit der gegebenen Grössen T_^ und T_^. ~Pkte item Berechnen Sie die insgesamt geleistete Arbeit W_ges in Abhängigkeit der gegebenen Grössen T_^ T_^ und C. ~Pkte enumerate enumerate

Solution:
enumerate item Anbei folgen die Lösungen zu den Multiple Choice Aufgaben ohne Erläuterung. Die wesentlichen Formeln welche hier verwet werden sind: TV^kappa- konst und Delta U W C_VnDelta T. enumerate item Wie viele Freiheitsgrade hat das Gas Vibrationen nicht inbegriffen? tabularm.cmm.cmm.cmm.cm Box quad & Largecheckmarkhspac.cmBox quad & Box quad & Box quad textkeinemm tabular item Welche Temperatur hat das Gas nach der Kompression ungefähr? tabularm.cmm.cmm.cmm.cm Box quad .cel &Box quad cel &Largecheckmarkhspac.cmBox quad cel &Box quad celmm tabular item Was gilt für die innere Energie U des Gases? tabularl Largecheckmarkhspac.cmBox quad U ist proportional zur Temperatur T des Gases.mm Box quad U ist proportional zum Volumen V des Gases.mm Box quad U hängt von T und V ab.mm Box quad U hängt weder von T noch von V ab.mm tabular item Was ist die Grössenordnung an mechanischer Arbeit die man für diesen Prozess von aussen aufwen muss? tabularm.cmm.cmm.cmm.cm Box quad ^-J & Box quad J & Largecheckmarkhspac.cmBox quad ^J & Box quad ^Jmm tabular enumerate item Wir rufen uns in Erinnerung dass der Carnot-Kreisprozess der idealste Prozess ist mit dem maximalen Wirkungsgrad. Er besteht aus zwei Isothermen Delta T und zwei Adiabaten Q_i~~. enumerate item Diese Gleichung folgt direkt aus dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik: Delta U W + Q. Da bei einem Zyklus der Anfangszustand wieder erreicht wird hat sich die innere Energie nicht geändert d.h. Delta U .~Pkte. Die Wärmemenge Q entspricht der gesamten Wärmemenge d.h. Q_ + Q_ .~Pkte. item Der Carnot-Wirkungsgrad ist inkl. der Definition des Wirkungsgrades: eta_C fracW_i-Q_i -fracT_T_. qquad text.~Pkte Setzt man die Formel refeq:HS sowie die Formel refeq:C ein erhält man: eta_C frac-Q_i+Q_i-Q_i frac-CmathrmdT_ + CmathrmdT_-CmathrmdT_ myRarrow fracmathrmdT_ + mathrmdT_mathrmdT_ -fracT_T_. qquad text~Pkt Daraus lässt sich die einfachere Beziehung: fracmathrmdT_T_ -fracmathrmdT_T_ qquad text.~Pkte herleiten. item Diese Differentialgleichung ist bereits separiert und kann durch beidseitige Integration gelöst werden: _T_^^T_EfracmathrmdT_T_ -_T_^^T_EfracmathrmdT_T_ myRarrow lnT_E/T_^ -lnT_E/T_^.qquad text~Pkt Diese Logarithmusgleichung lässt sich ebenfalls sehr einfach lösen es gilt: lnT_E/T_^ -lnT_E/T_^ myRarrow T_E sqrtT_^T_^. qquad text~Pkt item Daraus lässt sich nun die gesamte Arbeit W_ges sehr einfach berechnen. Es gilt: W_ges CT_^ - T_E + CT_^ - T_E CleftsqrtT_^ - sqrtT_^right^. qquad text~Pkt Auch wenn die binomische Formel nicht erkannt wird ist die Teilaufgabe richtig sofern W_ges durch T_^ T_^ und C ausgedrückt wird. enumerate enumerate