Abzählbarkeit Polynomring/algebraischer Abschluss
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
Question
Solution
Short
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Exercise:
Zeigen Sie dass der Polynomring mathbbQx abzählbar unlich ist. Schliessen Sie dass der algebraische Abschluss overlinemathbbQ von mathbbQ abzählbar unlich ist.
Solution:
Beweis. Sei A_i die Menge der Polynome mit deg leq . Da ein Polynom eindeutig durch seine Koeffizienten bestimmt ist gilt dass A_i bijektiv zu mathbbQ times ...times mathbbQ i+-mal ist. Es gilt: mathbbQX bigcup^n_i A_i. Da eine abzählbare Vereinigung von abzählbaren Mengen abzählbar ist ist mathbbQX abzählbar. Man zeigt nun dass overlinemathbbQ abzählbar ist. Jedes Element im algebraischen Abschluss kann per Definition als Nullstelle eines Polynoms geschrieben werden. Sei B_i die Menge der Zahlen in overlinemathbbQ welche als Nullstelle eines Polynoms in A_i geschrieben werden kann. Man nummeriere nun die Nullstellen mit ...i. Es gibt eine Abbildung B_i rightarrow A_i times ...i welche injektiv ist. Genauer man wählt für jede algebraische Zahl ein Polynom in A_i s.d. die Zahl eine Nullstelle ist und glqq speichertgrqq in ...i welche Nullstelle es ist. Man kann aus dem Bild eindeutig die Zahl wieder rekonstruieren also ist die Funktion injektiv. Weil A_i abzählbar ist sowie auch ...i ist auch A_i times ...i abzählbar. Man kann folgern dass B_i abzählbar ist. Da overlinemathbbQ bigcup_i in mathbbNB_i ist schliesst man dass overlinemathbbQ abzählbar ist.
Zeigen Sie dass der Polynomring mathbbQx abzählbar unlich ist. Schliessen Sie dass der algebraische Abschluss overlinemathbbQ von mathbbQ abzählbar unlich ist.
Solution:
Beweis. Sei A_i die Menge der Polynome mit deg leq . Da ein Polynom eindeutig durch seine Koeffizienten bestimmt ist gilt dass A_i bijektiv zu mathbbQ times ...times mathbbQ i+-mal ist. Es gilt: mathbbQX bigcup^n_i A_i. Da eine abzählbare Vereinigung von abzählbaren Mengen abzählbar ist ist mathbbQX abzählbar. Man zeigt nun dass overlinemathbbQ abzählbar ist. Jedes Element im algebraischen Abschluss kann per Definition als Nullstelle eines Polynoms geschrieben werden. Sei B_i die Menge der Zahlen in overlinemathbbQ welche als Nullstelle eines Polynoms in A_i geschrieben werden kann. Man nummeriere nun die Nullstellen mit ...i. Es gibt eine Abbildung B_i rightarrow A_i times ...i welche injektiv ist. Genauer man wählt für jede algebraische Zahl ein Polynom in A_i s.d. die Zahl eine Nullstelle ist und glqq speichertgrqq in ...i welche Nullstelle es ist. Man kann aus dem Bild eindeutig die Zahl wieder rekonstruieren also ist die Funktion injektiv. Weil A_i abzählbar ist sowie auch ...i ist auch A_i times ...i abzählbar. Man kann folgern dass B_i abzählbar ist. Da overlinemathbbQ bigcup_i in mathbbNB_i ist schliesst man dass overlinemathbbQ abzählbar ist.
Meta Information
Exercise:
Zeigen Sie dass der Polynomring mathbbQx abzählbar unlich ist. Schliessen Sie dass der algebraische Abschluss overlinemathbbQ von mathbbQ abzählbar unlich ist.
Solution:
Beweis. Sei A_i die Menge der Polynome mit deg leq . Da ein Polynom eindeutig durch seine Koeffizienten bestimmt ist gilt dass A_i bijektiv zu mathbbQ times ...times mathbbQ i+-mal ist. Es gilt: mathbbQX bigcup^n_i A_i. Da eine abzählbare Vereinigung von abzählbaren Mengen abzählbar ist ist mathbbQX abzählbar. Man zeigt nun dass overlinemathbbQ abzählbar ist. Jedes Element im algebraischen Abschluss kann per Definition als Nullstelle eines Polynoms geschrieben werden. Sei B_i die Menge der Zahlen in overlinemathbbQ welche als Nullstelle eines Polynoms in A_i geschrieben werden kann. Man nummeriere nun die Nullstellen mit ...i. Es gibt eine Abbildung B_i rightarrow A_i times ...i welche injektiv ist. Genauer man wählt für jede algebraische Zahl ein Polynom in A_i s.d. die Zahl eine Nullstelle ist und glqq speichertgrqq in ...i welche Nullstelle es ist. Man kann aus dem Bild eindeutig die Zahl wieder rekonstruieren also ist die Funktion injektiv. Weil A_i abzählbar ist sowie auch ...i ist auch A_i times ...i abzählbar. Man kann folgern dass B_i abzählbar ist. Da overlinemathbbQ bigcup_i in mathbbNB_i ist schliesst man dass overlinemathbbQ abzählbar ist.
Zeigen Sie dass der Polynomring mathbbQx abzählbar unlich ist. Schliessen Sie dass der algebraische Abschluss overlinemathbbQ von mathbbQ abzählbar unlich ist.
Solution:
Beweis. Sei A_i die Menge der Polynome mit deg leq . Da ein Polynom eindeutig durch seine Koeffizienten bestimmt ist gilt dass A_i bijektiv zu mathbbQ times ...times mathbbQ i+-mal ist. Es gilt: mathbbQX bigcup^n_i A_i. Da eine abzählbare Vereinigung von abzählbaren Mengen abzählbar ist ist mathbbQX abzählbar. Man zeigt nun dass overlinemathbbQ abzählbar ist. Jedes Element im algebraischen Abschluss kann per Definition als Nullstelle eines Polynoms geschrieben werden. Sei B_i die Menge der Zahlen in overlinemathbbQ welche als Nullstelle eines Polynoms in A_i geschrieben werden kann. Man nummeriere nun die Nullstellen mit ...i. Es gibt eine Abbildung B_i rightarrow A_i times ...i welche injektiv ist. Genauer man wählt für jede algebraische Zahl ein Polynom in A_i s.d. die Zahl eine Nullstelle ist und glqq speichertgrqq in ...i welche Nullstelle es ist. Man kann aus dem Bild eindeutig die Zahl wieder rekonstruieren also ist die Funktion injektiv. Weil A_i abzählbar ist sowie auch ...i ist auch A_i times ...i abzählbar. Man kann folgern dass B_i abzählbar ist. Da overlinemathbbQ bigcup_i in mathbbNB_i ist schliesst man dass overlinemathbbQ abzählbar ist.
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