Exercise
https://texercises.com/exercise/abzahlbarkeit-polynomringalgebraischer-abschluss/
Question
Solution
Short
Video
\(\LaTeX\)
No explanation / solution video to this exercise has yet been created.

Visit our YouTube-Channel to see solutions to other exercises.
Don't forget to subscribe to our channel, like the videos and leave comments!
Exercise:
Zeigen Sie dass der Polynomring mathbbQx abzählbar unlich ist. Schliessen Sie dass der algebraische Abschluss overlinemathbbQ von mathbbQ abzählbar unlich ist.

Solution:
Beweis. Sei A_i die Menge der Polynome mit deg leq . Da ein Polynom eindeutig durch seine Koeffizienten bestimmt ist gilt dass A_i bijektiv zu mathbbQ times ...times mathbbQ i+-mal ist. Es gilt: mathbbQX bigcup^n_i A_i. Da eine abzählbare Vereinigung von abzählbaren Mengen abzählbar ist ist mathbbQX abzählbar. Man zeigt nun dass overlinemathbbQ abzählbar ist. Jedes Element im algebraischen Abschluss kann per Definition als Nullstelle eines Polynoms geschrieben werden. Sei B_i die Menge der Zahlen in overlinemathbbQ welche als Nullstelle eines Polynoms in A_i geschrieben werden kann. Man nummeriere nun die Nullstellen mit ...i. Es gibt eine Abbildung B_i rightarrow A_i times ...i welche injektiv ist. Genauer man wählt für jede algebraische Zahl ein Polynom in A_i s.d. die Zahl eine Nullstelle ist und glqq speichertgrqq in ...i welche Nullstelle es ist. Man kann aus dem Bild eindeutig die Zahl wieder rekonstruieren also ist die Funktion injektiv. Weil A_i abzählbar ist sowie auch ...i ist auch A_i times ...i abzählbar. Man kann folgern dass B_i abzählbar ist. Da overlinemathbbQ bigcup_i in mathbbNB_i ist schliesst man dass overlinemathbbQ abzählbar ist.
Report An Error
You are on texercises.com.
reCaptcha will only work on our main-domain \(\TeX\)ercises.com!
Meta Information
\(\LaTeX\)-Code
Exercise:
Zeigen Sie dass der Polynomring mathbbQx abzählbar unlich ist. Schliessen Sie dass der algebraische Abschluss overlinemathbbQ von mathbbQ abzählbar unlich ist.

Solution:
Beweis. Sei A_i die Menge der Polynome mit deg leq . Da ein Polynom eindeutig durch seine Koeffizienten bestimmt ist gilt dass A_i bijektiv zu mathbbQ times ...times mathbbQ i+-mal ist. Es gilt: mathbbQX bigcup^n_i A_i. Da eine abzählbare Vereinigung von abzählbaren Mengen abzählbar ist ist mathbbQX abzählbar. Man zeigt nun dass overlinemathbbQ abzählbar ist. Jedes Element im algebraischen Abschluss kann per Definition als Nullstelle eines Polynoms geschrieben werden. Sei B_i die Menge der Zahlen in overlinemathbbQ welche als Nullstelle eines Polynoms in A_i geschrieben werden kann. Man nummeriere nun die Nullstellen mit ...i. Es gibt eine Abbildung B_i rightarrow A_i times ...i welche injektiv ist. Genauer man wählt für jede algebraische Zahl ein Polynom in A_i s.d. die Zahl eine Nullstelle ist und glqq speichertgrqq in ...i welche Nullstelle es ist. Man kann aus dem Bild eindeutig die Zahl wieder rekonstruieren also ist die Funktion injektiv. Weil A_i abzählbar ist sowie auch ...i ist auch A_i times ...i abzählbar. Man kann folgern dass B_i abzählbar ist. Da overlinemathbbQ bigcup_i in mathbbNB_i ist schliesst man dass overlinemathbbQ abzählbar ist.
Contained in these collections:

Attributes & Decorations
Tags
analysis, eth, hs22, polynom
Content image
Difficulty
(4, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Creator rk
Decoration