Exercise:
Seien a_n_n b_n_n zwei konvergente Folgen in mathbbC. abcliste abc Die Folge a_n_n+b_n_n ist konvergent und es gilt lim limits_x rightarrow inftya_n+b_n lim limits_x rightarrow inftya_n + lim limits_x rightarrow inftyb_n abc Die Folge a_nb_n_n ist konvergent und es gilt lim limits_x rightarrow inftya_nb_n leftlim limits_x rightarrow inftya_nrightleftlim limits_x rightarrow inftyb_nright Insbesondere ist für alpha in mathbbR die Folge alpha a_n_n konvergent und lim limits_x rightarrow inftyalpha a_n alpha lim limits_x rightarrow inftya_n abc Angenommen a_n neq für alle n in mathbbN und lim limits_x rightarrow inftya_n neq . Dann ist die Folge leftfraca_nright_n konvergent und es gilt lim limits_x rightarrow inftyfraca_n fraclim limits_x rightarrow inftya_n abcliste

Solution:
Beweis. Man setze Alim limits_x rightarrow inftya_n und Blim limits_x rightarrow inftyb_n. Für a sei epsilon N_ in mathbbN mit |a_n-A| fracepsilon für alle n geq N_ und N_ in mathbbN mit |b_n-B| fracepsilon für alle n geq N_. Sei NtextmaxN_N_. Nach Dreiecksungleichung gilt |a_n+b_n-A+B| |a_n-A+b_n-B| leq |a_n-A|+|b_n-B| epsilon was Aussage in a impliziert. Für b bemerkt man zuerst dass |a_nb_n-AB| |a_nb_n - Ab_n+Ab_n-AB| &leq |a_n - A||b_n|+|A||b_n-B| und schätzt nun die letzteren beiden Terme einzeln ab. Dabei muss man sicherstellen dass |b_n| für grosse n nicht zu gross wird. Sei epsilon und N in mathbbN so gewählt dass für n geq N |a_n-A| fracepsilon+|B| |b_n-B| textminleftfracepsilon+|A|right. Dann gilt insbesondere |b_n| leq |b_n-B|+|B|leq +|B| für alle n geq N. Damit ist für n geq N |a_n-A||b_n| &leq |a_n-A|+|B| fracepsilon |A||b_n-B| &leq +|A||b_n-B| fracepsilon was nach obiger Abschätzung für |a_nb_n -AB| die Aussage in b impliziert. Beweis von c. Angenommen a_n neq für alle n in mathbbN und a lim limits_n rightarrow infty a_n neq . Dann gilt |fraca_n-fracA| frac|A-a_n||a_nA| Man sieht also dass man erzwingen kann dass |fraca_n-fracA| klein ist wenn |A-a_n| klein ist. Dazu muss man allerdings verhindern dass a_n zu klein wird. Für den formalen Beweis sei epsilon . Nach Definition von A lim limits_n rightarrow inftya_n existiert ein N in mathbbN s.d. |a_n-A| textminleftfrac|A| fracepsilon|A|^right für alle n geq N. Für ngeq N gilt dann nach umgekehrter Dreiecksungleichung |a_n| |a_n-A+A| geq |A|-|a_n-A| |A| - frac|A| Also wird a_n nicht zu klein und |fraca_n-fracA| frac|A-a_n||a_n||A| frac|a_n-A|frac|A| fracfracepsilon |A|^frac|A|^ epsilon. was zu zeigen war.