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https://texercises.com/exercise/annahme-des-maximums-und-des-minimums/
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Exercise:
Beweisen Sie folge Aussage: Seien ab in mathbbR zwei reelle Zahlen mit a b und sei f:ab rightarrow mathbbR eine stetige Funktion. Dann nimmt f sowohl ein Maximum als auch ein Minimum an. Gilt nur für kompakte Intervalle Bsp. fxx auf hat kein Maximum.

Solution:
Beweis. f ist beschränkt womit nach Satz . das Supremum Stextsup fab existiert. Man nehme nun indirekt an dass fx S für alle x in ab gilt das heisst dass die Funktion f ihr Maximum nicht annimmt. Dadurch ist F:abrightarrow infty xmapsto fracS-fx eine wohldefinierte Funktion. Diese ist nach Proposition . stetig. Nach Satz . ist F also beschränkt womit ein M mit fracS-fx Fxleq M für alle x in ab existiert. Somit gilt fracMleq S-fx oder anders ausgedrückt fxleq S-fracM für alle x in ab. Letzteres widerspricht aber der Definition von S als das Supremum von fab. Daher existiert ein x_textmax in ab mit fx_textmaxtextsup fabtextmax fab. Durch Anwung des obigen Arguments auf -f ergibt sich ebenso dass das Minimum von f angenommen wird.
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Exercise:
Beweisen Sie folge Aussage: Seien ab in mathbbR zwei reelle Zahlen mit a b und sei f:ab rightarrow mathbbR eine stetige Funktion. Dann nimmt f sowohl ein Maximum als auch ein Minimum an. Gilt nur für kompakte Intervalle Bsp. fxx auf hat kein Maximum.

Solution:
Beweis. f ist beschränkt womit nach Satz . das Supremum Stextsup fab existiert. Man nehme nun indirekt an dass fx S für alle x in ab gilt das heisst dass die Funktion f ihr Maximum nicht annimmt. Dadurch ist F:abrightarrow infty xmapsto fracS-fx eine wohldefinierte Funktion. Diese ist nach Proposition . stetig. Nach Satz . ist F also beschränkt womit ein M mit fracS-fx Fxleq M für alle x in ab existiert. Somit gilt fracMleq S-fx oder anders ausgedrückt fxleq S-fracM für alle x in ab. Letzteres widerspricht aber der Definition von S als das Supremum von fab. Daher existiert ein x_textmax in ab mit fx_textmaxtextsup fabtextmax fab. Durch Anwung des obigen Arguments auf -f ergibt sich ebenso dass das Minimum von f angenommen wird.
Contained in these collections:

Attributes & Decorations
Tags
analysis, beweis, eth, hs22, maximum, minimum, proof
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Difficulty
(4, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Creator rk
Decoration