Annahme des Maximums und des Minimums
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
Question
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Exercise:
Beweisen Sie folge Aussage: Seien ab in mathbbR zwei reelle Zahlen mit a b und sei f:ab rightarrow mathbbR eine stetige Funktion. Dann nimmt f sowohl ein Maximum als auch ein Minimum an. Gilt nur für kompakte Intervalle Bsp. fxx auf hat kein Maximum.
Solution:
Beweis. f ist beschränkt womit nach Satz . das Supremum Stextsup fab existiert. Man nehme nun indirekt an dass fx S für alle x in ab gilt das heisst dass die Funktion f ihr Maximum nicht annimmt. Dadurch ist F:abrightarrow infty xmapsto fracS-fx eine wohldefinierte Funktion. Diese ist nach Proposition . stetig. Nach Satz . ist F also beschränkt womit ein M mit fracS-fx Fxleq M für alle x in ab existiert. Somit gilt fracMleq S-fx oder anders ausgedrückt fxleq S-fracM für alle x in ab. Letzteres widerspricht aber der Definition von S als das Supremum von fab. Daher existiert ein x_textmax in ab mit fx_textmaxtextsup fabtextmax fab. Durch Anwung des obigen Arguments auf -f ergibt sich ebenso dass das Minimum von f angenommen wird.
Beweisen Sie folge Aussage: Seien ab in mathbbR zwei reelle Zahlen mit a b und sei f:ab rightarrow mathbbR eine stetige Funktion. Dann nimmt f sowohl ein Maximum als auch ein Minimum an. Gilt nur für kompakte Intervalle Bsp. fxx auf hat kein Maximum.
Solution:
Beweis. f ist beschränkt womit nach Satz . das Supremum Stextsup fab existiert. Man nehme nun indirekt an dass fx S für alle x in ab gilt das heisst dass die Funktion f ihr Maximum nicht annimmt. Dadurch ist F:abrightarrow infty xmapsto fracS-fx eine wohldefinierte Funktion. Diese ist nach Proposition . stetig. Nach Satz . ist F also beschränkt womit ein M mit fracS-fx Fxleq M für alle x in ab existiert. Somit gilt fracMleq S-fx oder anders ausgedrückt fxleq S-fracM für alle x in ab. Letzteres widerspricht aber der Definition von S als das Supremum von fab. Daher existiert ein x_textmax in ab mit fx_textmaxtextsup fabtextmax fab. Durch Anwung des obigen Arguments auf -f ergibt sich ebenso dass das Minimum von f angenommen wird.
Meta Information
Exercise:
Beweisen Sie folge Aussage: Seien ab in mathbbR zwei reelle Zahlen mit a b und sei f:ab rightarrow mathbbR eine stetige Funktion. Dann nimmt f sowohl ein Maximum als auch ein Minimum an. Gilt nur für kompakte Intervalle Bsp. fxx auf hat kein Maximum.
Solution:
Beweis. f ist beschränkt womit nach Satz . das Supremum Stextsup fab existiert. Man nehme nun indirekt an dass fx S für alle x in ab gilt das heisst dass die Funktion f ihr Maximum nicht annimmt. Dadurch ist F:abrightarrow infty xmapsto fracS-fx eine wohldefinierte Funktion. Diese ist nach Proposition . stetig. Nach Satz . ist F also beschränkt womit ein M mit fracS-fx Fxleq M für alle x in ab existiert. Somit gilt fracMleq S-fx oder anders ausgedrückt fxleq S-fracM für alle x in ab. Letzteres widerspricht aber der Definition von S als das Supremum von fab. Daher existiert ein x_textmax in ab mit fx_textmaxtextsup fabtextmax fab. Durch Anwung des obigen Arguments auf -f ergibt sich ebenso dass das Minimum von f angenommen wird.
Beweisen Sie folge Aussage: Seien ab in mathbbR zwei reelle Zahlen mit a b und sei f:ab rightarrow mathbbR eine stetige Funktion. Dann nimmt f sowohl ein Maximum als auch ein Minimum an. Gilt nur für kompakte Intervalle Bsp. fxx auf hat kein Maximum.
Solution:
Beweis. f ist beschränkt womit nach Satz . das Supremum Stextsup fab existiert. Man nehme nun indirekt an dass fx S für alle x in ab gilt das heisst dass die Funktion f ihr Maximum nicht annimmt. Dadurch ist F:abrightarrow infty xmapsto fracS-fx eine wohldefinierte Funktion. Diese ist nach Proposition . stetig. Nach Satz . ist F also beschränkt womit ein M mit fracS-fx Fxleq M für alle x in ab existiert. Somit gilt fracMleq S-fx oder anders ausgedrückt fxleq S-fracM für alle x in ab. Letzteres widerspricht aber der Definition von S als das Supremum von fab. Daher existiert ein x_textmax in ab mit fx_textmaxtextsup fabtextmax fab. Durch Anwung des obigen Arguments auf -f ergibt sich ebenso dass das Minimum von f angenommen wird.
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