Exercise:
displaystyle frac-x^ ddx

Solution:
Der Nenner der Funktion fx hat die beiden reellen Nullstellen - und +. Die Funktion kann also weiter in Partialbrüche zerlegt werden; allerdings ist hier auch eine zugegeben anfangs nicht offensichtliche Substutution möglich. Wir werden beide Varianten durchgehen: medskip bf Variante Partialbrüche: Da die beiden Nullstellen des Nenners also von -x^ sehr einfach gefunden werden können pm lautet der Ansatz für die Partialbruchzerlegung wie folgt: frac-x^ fraca_x-+fraca_x+ Die eigentliche Aufgabe besteht nun darin die Koeffizienten a_ und a_ zu finden. Das führt auf folge Rechnung: frac-x^ fraca_x-+fraca_x+ fraca_x++a_x-x-x+ fraca_x +a_ +a_x -a_x^- frac-a_x -a_ -a_x +a_-x^ frac-a_-a_x +a_-a_-x^ Ein Koeffizientenvergleich führt dann auf folges Gleichungssystem: Die Lösung ist a_-frac und a_frac. Damit ist die Partialbruchzerlegung der gegebenen gebrochen rationalen Funktion wie folgt: frac-x^ -fracfracx-+fracfracx+ Diese Summe von Brüchen kann nun einfach egriert werden: Fx frac-x^ ddx -fracfracx-+fracfracx+ ddx -frac lnx- + frac lnx++c fracleftlnx+-lnx-right+c frac lnfracx+x- : atan x operatornameartanh x bf Variante Substitution: Das Integral kann auch mit geeigneter Substitution gelöst werden: Fx tcbhighmathaufgabe frac-x^ ddx substitutionx:tanh y quad ddx -tanh^ yddy frac-tanh^ y -tanh^ yddy ddy y + c tcbhighmathloesungoperatornameartanh x + c atan x + c Die beiden Lösungen sind identisch weil atan x gerade über die Logarithmus-Beziehung frac lnfracx+x- definiert ist. Das Differenzieren des Tangens hyperbolicus sieht wie folgt aus: fracddddxtanh x fracddddxfracsinh xcosh x fraccosh^ x - sinh^ xcosh^ x -tanh^ x