Banachscher Fixpunktsatz
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Exercise:
Sei Xd ein nicht-leerer vollständiger metrischer Raum. Sei T:X rightarrow X eine Lipschitz-Kontraktion d.h. eine Abbildung mit der Eigenschaft textdTx_Tx_leq lambda textdx_x_ für alle x_x_ in X und für eine fixe Lipschitz-Konstante lambda . Dann existiert ein eindeutig bestimmtes x_ in X mit Tx_x_ ein Fixpunkt von T.
Solution:
Beweis. Man zeigt zuerst die behauptete Eindeutigkeit. Seien also x_x_' in X zwei Fixpunkte von T. Dann gilt textdx_x_' textdTx_Tx_' leq lambda textdx_x_' was wegen lambda also textdx_x_' und somit x_x_' impliziert. Für die Existenz wählt man ein beliebiges x_ in X und definiert rekursiv x_ Tx_ x_ Tx_ und allgemein x_n+Tx_n für alle n in mathbbN die Folge T^nx__n nennt sich auch die Bahn von x_ unter T. Man möchte nun zeigen dass die Folge x_n_n konvergiert. In der Tat ist der Grenzwert x_ dann ein Fixpunkt denn es gilt x_ lim limits_n rightarrow infty x_n lim limits_n rightarrow infty x_n+ lim limits_n rightarrow infty Tx_n Tlim limits_n rightarrow infty x_n Tx_ da T:X rightarrow X Lipschitz-stetig und somit auch stetig ist. Man bemerkt zuerst dass textdx_x_textdTx_Tx_leq lambda textdx_x_ und allgemeiner textdx_nx_n+leq lambda^n- textdx_x_ für alle n in mathbbN. In der Tat folgt Ungleichung mittels Induktion n. Für n ist die Ungleichung tautologisch erfüllt. Falls bereits für n gilt dann folgt textdx_n+x_n+ textdTx_nTx_n+ leq lambda textdx_nx_n+ leq lambda^n textdx_x_ nach Konstruktion der Voraussetzung im Satz und der Induktionsverankerung. Man behauptet nun dass Ungleichung impliziert dass x_n_n eine Cauchy-Folge in X bildet. Daraus folgt mit der vorausgesetzten Vollständigkeit dass ein Grenzwert x_ der Folge x_n_n existiert was wie oben erklärt dann den Beweis abschliesst. Sei epsilon . Dann existiert ein N in mathbbN mit fraclambda^N--lambdatextdx_x_ epsilon. Für n m geq N folgt damit textdx_mx_n &leq textdx_mx_m++textdx_m+x_m++...+textdx_n-x_n &leq lambda^m- textdx_x_+ lambda^m textdx_x_+...+lambda^n-textdx_x_ &leq _kN^infty lambda^k-textdx_x_ fraclambda^N--lambdatextdx_x_ epsilon was den Beweis abschliesst.
Sei Xd ein nicht-leerer vollständiger metrischer Raum. Sei T:X rightarrow X eine Lipschitz-Kontraktion d.h. eine Abbildung mit der Eigenschaft textdTx_Tx_leq lambda textdx_x_ für alle x_x_ in X und für eine fixe Lipschitz-Konstante lambda . Dann existiert ein eindeutig bestimmtes x_ in X mit Tx_x_ ein Fixpunkt von T.
Solution:
Beweis. Man zeigt zuerst die behauptete Eindeutigkeit. Seien also x_x_' in X zwei Fixpunkte von T. Dann gilt textdx_x_' textdTx_Tx_' leq lambda textdx_x_' was wegen lambda also textdx_x_' und somit x_x_' impliziert. Für die Existenz wählt man ein beliebiges x_ in X und definiert rekursiv x_ Tx_ x_ Tx_ und allgemein x_n+Tx_n für alle n in mathbbN die Folge T^nx__n nennt sich auch die Bahn von x_ unter T. Man möchte nun zeigen dass die Folge x_n_n konvergiert. In der Tat ist der Grenzwert x_ dann ein Fixpunkt denn es gilt x_ lim limits_n rightarrow infty x_n lim limits_n rightarrow infty x_n+ lim limits_n rightarrow infty Tx_n Tlim limits_n rightarrow infty x_n Tx_ da T:X rightarrow X Lipschitz-stetig und somit auch stetig ist. Man bemerkt zuerst dass textdx_x_textdTx_Tx_leq lambda textdx_x_ und allgemeiner textdx_nx_n+leq lambda^n- textdx_x_ für alle n in mathbbN. In der Tat folgt Ungleichung mittels Induktion n. Für n ist die Ungleichung tautologisch erfüllt. Falls bereits für n gilt dann folgt textdx_n+x_n+ textdTx_nTx_n+ leq lambda textdx_nx_n+ leq lambda^n textdx_x_ nach Konstruktion der Voraussetzung im Satz und der Induktionsverankerung. Man behauptet nun dass Ungleichung impliziert dass x_n_n eine Cauchy-Folge in X bildet. Daraus folgt mit der vorausgesetzten Vollständigkeit dass ein Grenzwert x_ der Folge x_n_n existiert was wie oben erklärt dann den Beweis abschliesst. Sei epsilon . Dann existiert ein N in mathbbN mit fraclambda^N--lambdatextdx_x_ epsilon. Für n m geq N folgt damit textdx_mx_n &leq textdx_mx_m++textdx_m+x_m++...+textdx_n-x_n &leq lambda^m- textdx_x_+ lambda^m textdx_x_+...+lambda^n-textdx_x_ &leq _kN^infty lambda^k-textdx_x_ fraclambda^N--lambdatextdx_x_ epsilon was den Beweis abschliesst.