Beweis Stetigkeit unter Verknüpfung
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
Question
Solution
Short
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Exercise:
Beweisen Sie folge Aussage: Seien D_ D_ subset mathbbR zwei Teilmengen und sei x_ in D_. Angenommen f:D_ rightarrow D_ ist eine bei x_ stetige Funktion und g:D_ rightarrow mathbbR ist eine bei fx_ stetige Funktion. Dann ist g circ f: D_ rightarrow mathbbR bei x_ stetig. Insbesondere ist die Verknüpfung von stetigen Funktionen wieder stetig.
Solution:
Beweis. Sei epsilon . Dann existiert wegen der Stetigkeit von g bei fx_ ein eta so dass für alle y in D_ gilt |y-fx_| eta Rightarrow |gy-gfx_| epsilon Da eta ist und f bei x_ stetig ist gibt es aber auch ein delta so dass für alle x in D_ gilt |x-x_| delta Rightarrow |fx-fx_| eta Zusammen ergibt sich unter Verwung von yfx in fD_ subset D_ dass für alle x in D_ gilt |x-x_| delta Rightarrow |fx-fx_| eta Rightarrow |gy-gfx_| epsilon Dies beweist auch die letzte Aussage da x_ ein beliebiger Punkt in D_ war.
Beweisen Sie folge Aussage: Seien D_ D_ subset mathbbR zwei Teilmengen und sei x_ in D_. Angenommen f:D_ rightarrow D_ ist eine bei x_ stetige Funktion und g:D_ rightarrow mathbbR ist eine bei fx_ stetige Funktion. Dann ist g circ f: D_ rightarrow mathbbR bei x_ stetig. Insbesondere ist die Verknüpfung von stetigen Funktionen wieder stetig.
Solution:
Beweis. Sei epsilon . Dann existiert wegen der Stetigkeit von g bei fx_ ein eta so dass für alle y in D_ gilt |y-fx_| eta Rightarrow |gy-gfx_| epsilon Da eta ist und f bei x_ stetig ist gibt es aber auch ein delta so dass für alle x in D_ gilt |x-x_| delta Rightarrow |fx-fx_| eta Zusammen ergibt sich unter Verwung von yfx in fD_ subset D_ dass für alle x in D_ gilt |x-x_| delta Rightarrow |fx-fx_| eta Rightarrow |gy-gfx_| epsilon Dies beweist auch die letzte Aussage da x_ ein beliebiger Punkt in D_ war.
Meta Information
Exercise:
Beweisen Sie folge Aussage: Seien D_ D_ subset mathbbR zwei Teilmengen und sei x_ in D_. Angenommen f:D_ rightarrow D_ ist eine bei x_ stetige Funktion und g:D_ rightarrow mathbbR ist eine bei fx_ stetige Funktion. Dann ist g circ f: D_ rightarrow mathbbR bei x_ stetig. Insbesondere ist die Verknüpfung von stetigen Funktionen wieder stetig.
Solution:
Beweis. Sei epsilon . Dann existiert wegen der Stetigkeit von g bei fx_ ein eta so dass für alle y in D_ gilt |y-fx_| eta Rightarrow |gy-gfx_| epsilon Da eta ist und f bei x_ stetig ist gibt es aber auch ein delta so dass für alle x in D_ gilt |x-x_| delta Rightarrow |fx-fx_| eta Zusammen ergibt sich unter Verwung von yfx in fD_ subset D_ dass für alle x in D_ gilt |x-x_| delta Rightarrow |fx-fx_| eta Rightarrow |gy-gfx_| epsilon Dies beweist auch die letzte Aussage da x_ ein beliebiger Punkt in D_ war.
Beweisen Sie folge Aussage: Seien D_ D_ subset mathbbR zwei Teilmengen und sei x_ in D_. Angenommen f:D_ rightarrow D_ ist eine bei x_ stetige Funktion und g:D_ rightarrow mathbbR ist eine bei fx_ stetige Funktion. Dann ist g circ f: D_ rightarrow mathbbR bei x_ stetig. Insbesondere ist die Verknüpfung von stetigen Funktionen wieder stetig.
Solution:
Beweis. Sei epsilon . Dann existiert wegen der Stetigkeit von g bei fx_ ein eta so dass für alle y in D_ gilt |y-fx_| eta Rightarrow |gy-gfx_| epsilon Da eta ist und f bei x_ stetig ist gibt es aber auch ein delta so dass für alle x in D_ gilt |x-x_| delta Rightarrow |fx-fx_| eta Zusammen ergibt sich unter Verwung von yfx in fD_ subset D_ dass für alle x in D_ gilt |x-x_| delta Rightarrow |fx-fx_| eta Rightarrow |gy-gfx_| epsilon Dies beweist auch die letzte Aussage da x_ ein beliebiger Punkt in D_ war.
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