Exercise
https://texercises.com/exercise/bilder-zusammenhangender-mengen-unter-stetigen-abbildungen/
Question
Solution
Short
Video
\(\LaTeX\)
No explanation / solution video to this exercise has yet been created.

Visit our YouTube-Channel to see solutions to other exercises.
Don't forget to subscribe to our channel, like the videos and leave comments!
Exercise:
Seien XY metrische Räume und f:Xrightarrow Y stetig. Falls X zusammenhäng ist dann ist das Bild fX ein zusammenhänger Teilraum von Y.

Solution:
Beweis. Man kann o.B.d.A. annehmen dass f:Xrightarrow Y surjektiv ist indem f:Xrightarrow Y durch die stetige surjektive Abbildung Xrightarrow fX xmapsto fx ersetzt. Angenommen Y ist nicht zusammenhäng. Dann existiert eine offene und abgeschlossene Teilmenge Asubseteq Y mit Aneq varnothing und Aneq Y. Das Urbild f^-A von A unter f ist somit nach Proposition . ebenfalls offen und abgeschlossen. Da aber X zusammenhäng ist muss entweder f^-Avarnothing oder f^-AX. Dann gilt aber Avarnothing respektive AY wegen Surjektivität von f was der Annahme an A widerspricht.
Report An Error
You are on texercises.com.
reCaptcha will only work on our main-domain \(\TeX\)ercises.com!
Meta Information
\(\LaTeX\)-Code
Exercise:
Seien XY metrische Räume und f:Xrightarrow Y stetig. Falls X zusammenhäng ist dann ist das Bild fX ein zusammenhänger Teilraum von Y.

Solution:
Beweis. Man kann o.B.d.A. annehmen dass f:Xrightarrow Y surjektiv ist indem f:Xrightarrow Y durch die stetige surjektive Abbildung Xrightarrow fX xmapsto fx ersetzt. Angenommen Y ist nicht zusammenhäng. Dann existiert eine offene und abgeschlossene Teilmenge Asubseteq Y mit Aneq varnothing und Aneq Y. Das Urbild f^-A von A unter f ist somit nach Proposition . ebenfalls offen und abgeschlossen. Da aber X zusammenhäng ist muss entweder f^-Avarnothing oder f^-AX. Dann gilt aber Avarnothing respektive AY wegen Surjektivität von f was der Annahme an A widerspricht.
Contained in these collections:

Attributes & Decorations
Tags
analysis, beweis, eth, fs23, proof, stetigkeit, zusammenhängend
Content image
Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Creator rk
Decoration