Exercise:
Auf dem Billardtisch liegen zwei Kugeln Durchmesser je pq.mm der weisse Spielball bei pqmmpqmm der blaue Objektball bei pqmmpqmm. Beide Bälle haben eine Masse von pqg. abcliste abc In welchem Winkel muss der weisse Spielball angespielt werden damit der blaue Objektball gelocht werden kann? abc Der blaue Objektball verschwindet pq.s nachdem er vom Spielball getroffen wurde im Loch oben rechts. Bestimme die ursprüngliche Geschwindigkeit des weissen Objektballes. abc Bestimme mit welcher Kraft der Spielball vom Queue getroffen wurde wenn der Kontakt pqms gedauert hat. abcliste center tikzpicturescale latex %Billardtisch mm mm filldrawcolorblack -.-. rectangle ..; filldrawcolorgreen!!black .-.--.-. arc::.--.-.--.-. arc -::.--..--.. arc -::.--..--.. arc::.--..--.. arc::.---..---.. arc ::.; filldrawcolorgreen!!blackfillgreen!!white rectangle ..; % Middle Holes %upper filldrawcolorgreen!!whitefillgreen!!white .. rectangle ..; filldrawcolorgreen!!whitefillblack!!white .. circle .; %lower filldrawcolorgreen!!whitefillgreen!!white . rectangle .-.; filldrawcolorgreen!!whitefillblack!!white .-. circle .; % Corner Hole sw filldrawcolorgreen!!whitefillblack!!white .-- -.. arc ::.--.-.--.; filldrawcolorgreen!!whitefillgreen!!white .---.. arc:-:.--.-.--.; % Corner Hole se filldrawcolorgreen!!whitefillblack!!white .-- .-. arc -::.--..--..; filldrawcolorgreen!!whitefillgreen!!white .--.-. arc::.--..--..; % Corner Hole ne filldrawcolorgreen!!whitefillblack!!white ..--.. arc -::.--..--..; filldrawcolorgreen!!whitefillgreen!!white ..--.. arc ::.--..--..; % Corner Hole nw filldrawcolorgreen!!whitefillblack!!white ..--.. arc::.---..--.; filldrawcolorgreen!!whitefillgreen!!white ..--.. arc:-:.---..--.; %Diamonds vertical filldrawcolorwhite -. . circle .; filldrawcolorwhite . . circle .; filldrawcolorwhite -. . circle .; filldrawcolorwhite . . circle .; filldrawcolorwhite -. . circle .; filldrawcolorwhite . . circle .; %Diamonds horizontal low filldrawcolorwhite . -. circle .; filldrawcolorwhite . -. circle .; filldrawcolorwhite . -. circle .; filldrawcolorwhite . -. circle .; filldrawcolorwhite . -. circle .; filldrawcolorwhite . -. circle .; %Diamonds horizontal high filldrawcolorwhite . . circle .; filldrawcolorwhite . . circle .; filldrawcolorwhite . . circle .; filldrawcolorwhite . . circle .; filldrawcolorwhite . . circle .; filldrawcolorwhite . . circle .; nodecolorwhite at . -. small TeX sfercises.com; %Billardkugeln . mm shadeball colorwhite .. circle .; shadeball colorblue .. circle .; %Bemassung draw- -.---..; draw- -.--.-.; noderotate at -.. pqmm; node at .-. pqmm; %Koordinatenkreuz draw- thick colorred --.; draw- thick colorred --.; nodecolorred at .. x; nodecolorred at .. y; tikzpicture center

Solution:
abcliste abc Der Winkel in welchem der weisse Spielball angespielt werden muss findet man mit den folgen Denkschritten: Die blaue Kugel muss direkt ins rechte obere Loch rollen den Winkel theta_ der Verbindungslinie zwischen dem Mittelpunkt der blauen Kugel und der Ecke oben rechts findet man mit einfacher Trigonometrie siehe unten. Dann muss einleuchten dass die weisse Kugel die blaue so treffen muss dass ihre Mittelpunkt auf genau dieser zuletzt genannten Verbindungslinie liegt. Die weisse Kugel darf also nicht direkt auf den Mittelpunkt der blauen Kugel gespielt werden. Die Situation ist in der folgen Skizze ersichtlich: center tikzpicturescale latex drawcolorblack thick dashed .-..-. circle .; drawcolorblue thick .. circle .; filldrawcolorblack thick fillwhite .-..-. circle .; drawdashed colorblack- ..--+.:.; drawdashed colorblack ..--++.:.; drawdashed colorblack .-..-.--++.:.; drawdensely dotted colorblack ..--++.:.; drawdensely dotted colorblack- ..--+.:.; filldrawcolorred!!white ..--.. arc :.:.--cycle; nodecolorred at .. theta_; tikzpicture center Der weisse Spielball muss also so gespielt werden dass er den blauen wie in oben steher Skizze gezeigt trifft und nicht etwa auf den Mittelpunkt des blauen Objektballes so wie mit der gestrichelten Kugel angezeigt. Dann würde die blaue Kugel entlang der gepunkteten Linie weiterlaufen -- und nicht ins Loch gespielt werden! Auf dem Billardtisch sieht die Situation wie folgt aus: center tikzpicturescale latex %Billardtisch mm mm filldrawcolorblack -.-. rectangle ..; filldrawcolorgreen!!black .-.--.-. arc::.--.-.--.-. arc -::.--..--.. arc -::.--..--.. arc::.--..--.. arc::.---..---.. arc ::.; filldrawcolorgreen!!blackfillgreen!!white rectangle ..; % Middle Holes %upper filldrawcolorgreen!!whitefillgreen!!white .. rectangle ..; filldrawcolorgreen!!whitefillblack!!white .. circle .; %lower filldrawcolorgreen!!whitefillgreen!!white . rectangle .-.; filldrawcolorgreen!!whitefillblack!!white .-. circle .; % Corner Hole sw filldrawcolorgreen!!whitefillblack!!white .-- -.. arc ::.--.-.--.; filldrawcolorgreen!!whitefillgreen!!white .---.. arc:-:.--.-.--.; % Corner Hole se filldrawcolorgreen!!whitefillblack!!white .-- .-. arc -::.--..--..; filldrawcolorgreen!!whitefillgreen!!white .--.-. arc::.--..--..; % Corner Hole ne filldrawcolorgreen!!whitefillblack!!white ..--.. arc -::.--..--..; filldrawcolorgreen!!whitefillgreen!!white ..--.. arc ::.--..--..; % Corner Hole nw filldrawcolorgreen!!whitefillblack!!white ..--.. arc::.---..--.; filldrawcolorgreen!!whitefillgreen!!white ..--.. arc:-:.---..--.; %Diamonds vertical filldrawcolorwhite -. . circle .; filldrawcolorwhite . . circle .; filldrawcolorwhite -. . circle .; filldrawcolorwhite . . circle .; filldrawcolorwhite -. . circle .; filldrawcolorwhite . . circle .; %Diamonds horizontal low filldrawcolorwhite . -. circle .; filldrawcolorwhite . -. circle .; filldrawcolorwhite . -. circle .; filldrawcolorwhite . -. circle .; filldrawcolorwhite . -. circle .; filldrawcolorwhite . -. circle .; %Diamonds horizontal high filldrawcolorwhite . . circle .; filldrawcolorwhite . . circle .; filldrawcolorwhite . . circle .; filldrawcolorwhite . . circle .; filldrawcolorwhite . . circle .; filldrawcolorwhite . . circle .; nodecolorwhite at . -. small TeX sfercises.com; %Billardkugeln . mm shadeball colorwhite .. circle .; shadeball colorblue .. circle .; %Bemassung draw- -.---..; draw- -.--.-.; noderotate at -.. pqmm; node at .-. pqmm; %Koordinatenkreuz draw- thick colorred --.; draw- thick colorred --.; nodecolorred at .. x; nodecolorred at .. y; % Lösung der Aufgabe drawdashed colorblack ..--..; drawcolorblack ..--..; node at .. Delta x_; drawcolorblack ..--..; node at .. Delta y_; filldrawcolorred!!white ..--.. arc :.:.--cycle; nodecolorred at .. theta_; shadeball colorwhite .-..-. circle .; drawdashed colorblack ..--.-..-.; drawcolorblack ..--.-..; node at .. Delta x_; drawcolorblack .-..--.-..-.; node at .. Delta y_; filldrawcolorred!!white ..--.. arc :.:.--cycle; nodecolorred at .. theta_; tikzpicture center Mit einfacher Trigonometrie findet man folge Zahlenwerte: Delta x_ pq.m-pq.mpq.m Delta y_ pq.m-pq.mpq.m theta_ arctanleftfracDelta y_Delta x_right .grad Nun weiss man dass die weisse Kugel die blaue Kugel so treffen muss dass letztere in einem Winkel von .grad davonrollt; dafür muss die weisse Kugel auf einen Punkt gespielt werden welcher in der Verlängerung dieser Linie liegt nämlich auf: x' x_b- dcostheta_ pq.m y' y_b- dsheta_ pq.m Dabei sind x_b und y_b die Position der blauen Kugel und d bezeichnet den Durchmesser einer Kugel. So viel Abstand haben drum die beiden Kugeln im Moment ihrer Berührung rd. Delta x_ pq.m-pq.mpq.m Delta y_ pq.m-pq.mpq.m theta_ arctanleftfracDelta y_Delta x_right .grad abc Als erstes muss die Geschwindigkeit der blauen Kugel berechnet werden; die von ihr in pq.s zurückgelegte Strecke findet man mit Pythagoras: v_b fracst fracsqrtDelta x_^+Delta y_^t fracpq.mpq.s pq. Es gilt Energieerhaltung sowie Impulserhaltung in x- und y-Richtung; da beide Kugeln dieselbe Masse haben vereinfachen sich die drei Gleichungen wie folgt: v^ v'^+v_b^ v_x v_x'+v_bx v_y v_y'+v_by Aus der ersten Gleichung lernt man dass die Richtungen der beiden Kugeln nach dem Stoss einen rechten Winkel bilden Pythagoras. Weil damit auch der Winkel der weissen Kugel nach dem Stoss feststeht theta_.grad+grad.grad hat man es nur noch mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten zu tun: vcostheta_ v'costheta_+pq. vsheta_ v'sheta_+pq. Dieses Gleichungssystem hat folge Lösung: v pq. v' pq. abc Die Kraft welche das Queue im Mittel auf die weisse Kugel ausgeübt hat beträgt: F fracmvt pq.N abcliste