Exercise:
To what height do you have to drink a beverage can so that the center of gravity is as low as possible and therefore the can remains standing best?

Solution:
abcliste abc Der Schwerpunkt liegt sowohl bei voller als auch leerer Dose jeweils auf halber Höhe also y_Sfrac H; dabei bezeichnet H die Höhe der Limonadose. center tikzpicture fillfillblue! - rectangle ; fillfillblue! ellipse and .; fillfillblue! rectangle ; fillfillblue! ellipse and .; fillwhite ellipse and .; draw arc ::cm and -.cm; filldrawfillwhite ellipse and .; draw - -- -; draw -- ; draw arc ::cm and -.cm; filldrawfillwhite ellipse and .; draw -- ; draw -- ; draw arc ::cm and -.cm; draw ellipse and .; draw -- ; draw -- ; draw arc ::cm and -.cm; filldrawred . circle pt; filldrawred . circle pt; filldrawred . circle pt; node at -. voll; node at -. tiefster Schwerpunkt; node at -. leer; tikzpicture center abc Sei nun wieder H die Höhe der Limonadose und bezeichne h die Füllhöhe der Limonade in der Dose. Ziel ist es eine Funktion zu finden welche jeder Füllhöhe h die Koordinate S des Schwerpunktes zuordnet; d.h. wir suchen eine Funktion Sh. Die zu löse Drehmomentengleichung lautet: stackrelcurvedarrowleftM stackrelcurvedarrowrightM M_texttiny L M_texttiny D F_ x_ F_ x_ m_g leftS-frachright m_ g leftfracH-Sright S fracm_fracH+m_frachm_+m_ center tikzpicture draw --. rectangle .; filldrawfillblue! --. rectangle -.; draw stealth-stealth -. -- - .; node at - h; draw stealth-stealth -. -- .; node at . H; drawdarkgreen-stealth -- -; nodedarkgreen at -.- F_; drawdarkgreen-stealth - -- --; nodedarkgreen at -.- F_; draworange - -- -.; nodeorange at -.-. x_; drawblue -. -- ; nodeblue at -.-. x_; filldrawred -. circle pt nodeaboveS; filldrawgray - circle .pt; node at -.. frach; filldrawgray circle .pt; node at .. fracH; tikzpicture center In dieser letzten Gleichung ist m_ die Masse der Dose und m_ die Masse der eingefüllten Limonade; das ist ein Teil der ganzen Limonade welche ursprünglich in der Dose war also: m_ m_texttiny LfrachH Damit wird die Koordinate des Schwerpunktes zu: Sh fracm_texttiny DfracH+m_texttiny LfrachHfrachm_texttiny LfrachH+m_texttiny D fracm_texttiny DH^+m_texttiny Lh^m_texttiny DH+m_texttiny Lh Die Frage ist jetzt bei welcher Füllhöhe der Schwerpunkt am Tiefsten liegt. Das ist mathematisch gesehen ein Extremalwertproblem; d.h. man muss das Minimum der Funktion Sh finden. Extremalwerte liegen dort wo die Ableitung einer Funktion verschwindet: S'h fracf'g-fg'g^ && textQuotientenregel frac fracm_texttiny Lhm_texttiny DH+m_texttiny Lh-m_texttiny Lh^+m_texttiny DH^m_texttiny Lm_texttiny DH+m_texttiny Lh^ fracm_texttiny Lfracm_texttiny DHh+m_texttiny Lh^-m_texttiny DH^m_texttiny DH+m_texttiny Lh^ Diese Ableitung wird null wenn der Zähler null wird: m_texttiny Lh^+m_texttiny DHh-m_texttiny DH^ &mustbe h frac m_texttiny Lleft-m_texttiny DHpm Hsqrtm_texttiny Dm_texttiny D+m_texttiny Lright Da der Term unter der Wurzel grösser als m_texttiny L ist und für h nur positive Werte sinnvoll sind folgt: h fracsqrt m_texttiny Dm_texttiny D+m_texttiny L-m_texttiny Dm_texttiny L H abc Der Schwerpunkt liegt im konkreten Fall bei: h numpr. .m .m abcliste