Charakterisierung offener und abgeschlossener Mengen durch Konvergenz
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Exercise:
Sei X ein metrischer Raum itemize item Eine Teilmenge Osubseteq X ist genau dann offen wenn für jede konvergente Folge in X mit Grenzwert in O fast alle Folgenglieder in O liegen. Die vom Anfang nicht dabei item Eine Teilmenge Asubseteq X ist genau dann abgeschlossen wenn für jede konvergente Folge x_n_n in X mit x_nin A für alle nin mathbbN auch der Grenzwert in A liegt. itemize
Solution:
Beweis. Sei Osubseteq X eine offene Teilmenge von X und x_n_n eine Folge in X mit Grenzwert x_ in O. Dann ist O eine Umgebung von x_ da O offen ist und somit liegen fast alle Folgenglieder von x_n_n in O. Sei nun Osubseteq X eine nicht offene Teilmenge. Dann gibt es einen Punkt x_in O mit B_epsilonx_backslash Oneq varnothing für jedes epsilon . Für jedes nin mathbbN und epsilon fracn findet man somit ein x_nin B_fracnx_backslash Oneq varnothing für jedes epsilon . Die Folge x_n_n in Xbackslash O ist nun konvergent mit Grenzwert x_in O da dx_nx_ fracn für alle nin mathbbN und erfüllt x_n neq O für jedes nin mathbbN. Dies schliesst den Beweis der ersten Aussage Kontraposition. Sei Asubseteq X abgeschlossen und sei x_n_n eine konvergente Folge in X mit x_nin A für alle nin mathbbN. Sei x_ der Grenzwert der Folge x_n_n. Dann ist OXbackslash A offen und kann nicht den Grenzwert x_ von x_n_n enthalten da sonst fast alle Folgenglieder der Folge x_n_n in O liegen müssten. Also ist der Grenzwert x_ in A. Sei schlusslich Asubseteq X nicht abgeschlossen. Dann ist OXbackslash A nicht offen und es existiert nach obigem Argument eine Folge x_n_n in AXbackslash O mit Grenzwert x_in O.
Sei X ein metrischer Raum itemize item Eine Teilmenge Osubseteq X ist genau dann offen wenn für jede konvergente Folge in X mit Grenzwert in O fast alle Folgenglieder in O liegen. Die vom Anfang nicht dabei item Eine Teilmenge Asubseteq X ist genau dann abgeschlossen wenn für jede konvergente Folge x_n_n in X mit x_nin A für alle nin mathbbN auch der Grenzwert in A liegt. itemize
Solution:
Beweis. Sei Osubseteq X eine offene Teilmenge von X und x_n_n eine Folge in X mit Grenzwert x_ in O. Dann ist O eine Umgebung von x_ da O offen ist und somit liegen fast alle Folgenglieder von x_n_n in O. Sei nun Osubseteq X eine nicht offene Teilmenge. Dann gibt es einen Punkt x_in O mit B_epsilonx_backslash Oneq varnothing für jedes epsilon . Für jedes nin mathbbN und epsilon fracn findet man somit ein x_nin B_fracnx_backslash Oneq varnothing für jedes epsilon . Die Folge x_n_n in Xbackslash O ist nun konvergent mit Grenzwert x_in O da dx_nx_ fracn für alle nin mathbbN und erfüllt x_n neq O für jedes nin mathbbN. Dies schliesst den Beweis der ersten Aussage Kontraposition. Sei Asubseteq X abgeschlossen und sei x_n_n eine konvergente Folge in X mit x_nin A für alle nin mathbbN. Sei x_ der Grenzwert der Folge x_n_n. Dann ist OXbackslash A offen und kann nicht den Grenzwert x_ von x_n_n enthalten da sonst fast alle Folgenglieder der Folge x_n_n in O liegen müssten. Also ist der Grenzwert x_ in A. Sei schlusslich Asubseteq X nicht abgeschlossen. Dann ist OXbackslash A nicht offen und es existiert nach obigem Argument eine Folge x_n_n in AXbackslash O mit Grenzwert x_in O.