Exercise:
Sei Aa_ij_ij in textMat_nnmathbbR eine symmetrische Matrix. Dann gilt itemize item A ist genau dann positiv definit wenn alle der folgen Determinanten positiv sind: a_quad textdet left arrayrrr a_ & a_ & a_ a_ & a_ & a_ a_ & a_ & a_ arrayright ... quad textdetA. item A ist genau dann negativ definit wenn -A positiv definit ist was genau wechselnden Vorzeichen der Determinanten n mit negativen Vorzeichen entspricht. item Falls A nicht-degeneriert ist und weder positiv noch negativ definit ist dann ist A indefinit. itemize

Solution:
Beweis. Man bemerkt zuerst dass für J in textGL_nmathbbR die Matrix A genau dann positiv definit negativ definit oder indefinit ist wenn dies für J^tAJ der Fall ist. Der Beweis der ersten Aussage erfolgt per Induktion nach n. Für n folgt die Behauptung direkt aus der Definition. Für den Beweis des Induktionsschrittes schreibt man A in textMat_n+n+mathbbR als die Blockmatrix A left arrayrr B & v v^t & c arrayright für eine symmetrische Matrix B in textMat_nnmathbbRv in mathbbR^n und c in mathbbR. Falls die Matrix B invertierbar ist dann gilt mit J left arrayrr I_n & -B^-v & arrayright quad textundquad J^t left arrayrr I_n & -v^tB^- & arrayright dass J^tAJ left arrayrr I_n & -v^tB^- & arrayright left arrayrr B & v v^t & c arrayright left arrayrr I_n & -B^-v & arrayright left arrayrr I_n & -v^tB^- & arrayright left arrayrr B & -Bb^-v+v v^t & -v^tB^-v+c arrayright left arrayrr B & & overlinec arrayright wobei man overlinec-v^tB^-v+c setzt. Falls A positiv definit ist dann ist auch w^tAleftarrayc w arrayright für alle w in mathbbR^nbackslash . In obiger Notation folgt daraus dass B ebenfalls positiv definit ist. Gemeinsam mit der Induktionsannahme erhält man dass die ersten n Determinanten positiv sind und insbesondere B in textGL_nmathbbR ist. Wet man nun obige Rechnung an so erhält man also eine Matrix J in textGL_n+mathbbR so dass J^tAJ left arrayrr B & & overlinec arrayright Da A als positiv definit vorausgesetzt wurde gilt overlinec und wegen textdetJ auch textdetAtextdetJ^tAJtextdetBoverlinec . Dies beweist den Induktionsschritt in der ersten Richtung. Sei nun A in textMat_n+n+mathbbR eine symmetrische Matrix so dass alle Determinanten wie im Satz positiv sind. Insbesondere hat B eine positive Determinante und ist auf Grund der Induktionssannahme positiv definit. Man verwet wieder die oben definierte Matrix J und sieht dass J^tAJ left arrayrr B & & overlinec arrayright quadtextundquad textdetAtextdetBoverlinec und somit overlinec . Daraus folgt aber dass left arrayrr B & & overlinec arrayright und damit auch A positiv definit sind. Dies vollet den induktiven Beweis der ersten Aussage im Satz. Für die zweite Aussage verwet man dass A genau dann negativ definit ist wenn -A positiv definit ist was direkt aus der Definition folgt. Gemeinsam mit der Multilinerität der Determinante und der ersten Bedingung ergibt sich die gewünschte Charakterisierung mittels der Folge der Determinanten. Die letzte Behauptung ist keine Charakterisierung sondern nur eine hinreiche Bedingung. Ihr Beweis ist etwas anders aufgebaut und verwet folgen Satz aus der linearen Algebra: Jede symmetrische Matrix A ist diagonalisierbar wobei es sogar eine orthogonale Matrix K gibt für die K^-AK diagonal ist. Für die orthogonale Matrix K ist aber K^-K^t und wie schon zuvor haben dadurch A und die Diagonalmatrix DK^tAK das gleiche Verhalten bezüglich Definitheit. Nach Vorraussetzung ist A nicht-degeneriert womit alle Eigenwerte von A also die Diagonaleräge von D nicht gleich Null sind. Da A nicht positiv definit ist ist auch D nicht positiv definit und es existiert ein negativer Erag in D. Dies gilt analog für nicht negativ definit und zusammen sieht man dass sowhol D als auch A indefinit sind.