Die Wurmaufgabe
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Exercise:
Ein Wurm der pro Sekunde cm zurücklegt befinde sich am Anfang am befestigten Ende eines Gummiseils mit m Länge. Er macht sich dann auf den Weg zum anderen Ende -- währ das Seil pro Sekunde um m in die Länge gezogen wird. Wird der Wurm sein Ziel trotzdem erreichen und falls ja wie lange braucht er dafür?
Solution:
Die Länge des Gummiseils zu einer bestimmten Zeit beträgt ellt ell_ + vt die Veränderungsrate dieser Länge ist konstant: dot ellt fracddellddt v . Die Veränderung der Position des Wurmes bzw. Geschwindigkeit mit welcher er zu einer bestimmten Zeit vom Startpunkt entfernt ist: dot st fracddsddt u + fracstellt dotellt Diese letzte Gleichung kann wie folgt umgeschrieben werden: dot st - underbracefraelltellt _gt st underbraceu_ft Dann folgt: Gt - fraelltellt ddt -lnellt+C' Falls die Gleichung homogen ist hat man: st C texte^--lnellt C texte^lnellt Falls die Gleichung inhomogen ist hat man: st Ht ellt dot Ht ft texte^Gt u texte^-lnell_ + vt u fracell_ + vt Ht u fracell_ + vt ddt u fracv lnell_ + vt + C Damit wird st also die Strecke welche der Wurm bezüglich Anfangspunkt zurückgelegt hat zu: st leftu fracv lnell_ + vt + Cright leftell_ + vtright Mit den Anfangsbedingungen s und ell_ bestimmt man die Konstante zu C. Die partikuläre Lösung ist also: st u fracv lnell_ + vt leftell_ + vtright Falls der Wurm das Ende erreichen soll so muss gelten: st ellt u fracv lnell_ + vt leftell_ + vtright ell_ + vt u fracv lnell_ + vt ell_ + vt texte^fracvu t fracv lefttexte^fracvu-ell_right texte^- .es
Ein Wurm der pro Sekunde cm zurücklegt befinde sich am Anfang am befestigten Ende eines Gummiseils mit m Länge. Er macht sich dann auf den Weg zum anderen Ende -- währ das Seil pro Sekunde um m in die Länge gezogen wird. Wird der Wurm sein Ziel trotzdem erreichen und falls ja wie lange braucht er dafür?
Solution:
Die Länge des Gummiseils zu einer bestimmten Zeit beträgt ellt ell_ + vt die Veränderungsrate dieser Länge ist konstant: dot ellt fracddellddt v . Die Veränderung der Position des Wurmes bzw. Geschwindigkeit mit welcher er zu einer bestimmten Zeit vom Startpunkt entfernt ist: dot st fracddsddt u + fracstellt dotellt Diese letzte Gleichung kann wie folgt umgeschrieben werden: dot st - underbracefraelltellt _gt st underbraceu_ft Dann folgt: Gt - fraelltellt ddt -lnellt+C' Falls die Gleichung homogen ist hat man: st C texte^--lnellt C texte^lnellt Falls die Gleichung inhomogen ist hat man: st Ht ellt dot Ht ft texte^Gt u texte^-lnell_ + vt u fracell_ + vt Ht u fracell_ + vt ddt u fracv lnell_ + vt + C Damit wird st also die Strecke welche der Wurm bezüglich Anfangspunkt zurückgelegt hat zu: st leftu fracv lnell_ + vt + Cright leftell_ + vtright Mit den Anfangsbedingungen s und ell_ bestimmt man die Konstante zu C. Die partikuläre Lösung ist also: st u fracv lnell_ + vt leftell_ + vtright Falls der Wurm das Ende erreichen soll so muss gelten: st ellt u fracv lnell_ + vt leftell_ + vtright ell_ + vt u fracv lnell_ + vt ell_ + vt texte^fracvu t fracv lefttexte^fracvu-ell_right texte^- .es