Exercise:
abcliste %a abc In der folgen Abbildung sind vier Richtungsfelder A B C und D dargestellt. Ordne jedem Richtungsfeld die passe Differentialgleichung aus der untenstehen Liste zu. Zwei Differentialgleichungen bleiben übrig. center setlengthtabcolseppt tabular*linewidthl@extracolsepfillccc % Feld A: y' x tikzpicturebaselinecurrent bounding box.north axis width.cm height.cm axis linesmiddle xmin-. xmax. ymin-. ymax. xtick--- ytick--- gridboth titleA xticklabel stylefonttiny yshiftpt yticklabel stylefonttiny xshiftpt view xlabelx ylabely xlabel styleatticklabel* cs: anchornorth east fonttiny xshiftpt ylabel styleatticklabel* cs: anchorsouth east fonttiny yshift-pt addplotblue thick quiveru/sqrt+x^ vx/sqrt+x^ scale arrows. every arrow/.app styl samples samples y domain-: y domain-: ; addplotblue thick quiveru-/sqrt+x^ v-x/sqrt+x^ scale arrows. every arrow/.app styl samples samples y domain-: y domain-: ; addplotblue only marks mark* mark size.pt mark optionsfillwhite drawblue samples samples y domain-: y domain-: ; axis tikzpicture & % Feld B: y' -y tikzpicturebaselinecurrent bounding box.north axis width.cm height.cm axis linesmiddle xmin-. xmax. ymin-. ymax. xtick--- ytick--- gridboth titleB xticklabel stylefonttiny yshiftpt yticklabel stylefonttiny xshiftpt view xlabelx ylabely xlabel styleatticklabel* cs: anchornorth east fonttiny xshiftpt ylabel styleatticklabel* cs: anchorsouth east fonttiny yshift-pt addplotblue thick quiveru/sqrt+y^ v-y/sqrt+y^ scale arrows. every arrow/.app styl samples samples y domain-: y domain-: ; addplotblue thick quiveru-/sqrt+y^ vy/sqrt+y^ scale arrows. every arrow/.app styl samples samples y domain-: y domain-: ; addplotblue only marks mark* mark size.pt mark optionsfillwhite drawblue samples samples y domain-: y domain-: ; axis tikzpicture & % Feld C: y' sinx tikzpicturebaselinecurrent bounding box.north axis width.cm height.cm axis linesmiddle xmin-. xmax. ymin-. ymax. xtick--- ytick--- gridboth titleC xticklabel stylefonttiny yshiftpt yticklabel stylefonttiny xshiftpt view xlabelx ylabely xlabel styleatticklabel* cs: anchornorth east fonttiny xshiftpt ylabel styleatticklabel* cs: anchorsouth east fonttiny yshift-pt addplotblue thick quiveru/sqrt+sindegx^ vsindegx/sqrt+sindegx^ scale arrows. every arrow/.app styl samples samples y domain-: y domain-: ; addplotblue thick quiveru-/sqrt+sindegx^ v-sindegx/sqrt+sindegx^ scale arrows. every arrow/.app styl samples samples y domain-: y domain-: ; addplotblue only marks mark* mark size.pt mark optionsfillwhite drawblue samples samples y domain-: y domain-: ; axis tikzpicture & % Feld D: y' x + y tikzpicturebaselinecurrent bounding box.north axis width.cm height.cm axis linesmiddle xmin-. xmax. ymin-. ymax. xtick--- ytick--- gridboth titleD xticklabel stylefonttiny yshiftpt yticklabel stylefonttiny xshiftpt view xlabelx ylabely xlabel styleatticklabel* cs: anchornorth east fonttiny xshiftpt ylabel styleatticklabel* cs: anchorsouth east fonttiny yshift-pt addplotblue thick quiveru/sqrt+x+y^ vx+y/sqrt+x+y^ scale arrows. every arrow/.app styl samples samples y domain-: y domain-: ; addplotblue thick quiveru-/sqrt+x+y^ v-x+y/sqrt+x+y^ scale arrows. every arrow/.app styl samples samples y domain-: y domain-: ; addplotblue only marks mark* mark size.pt mark optionsfillwhite drawblue samples samples y domain-: y domain-: ; axis tikzpicture tabular* center enumeratelabelarabic* itemseppt tabularxtextwidthXXX item y' sinx & item y' fracyx & item y' x + y item y' -y & item y' cosy & item y' x tabularx enumerate textitHinweis: Gib deine Antwort in der Form BuchstabZahl an. Es sind keine Begründungen erforderlich. %b abc Bestimme die Partikulärlösung des folgen Anfangswertproblems durch Separation der Variablen: y' frac+y^x quad textmit quad y abc Bestimme die allgemeine Lösung der folgen inhomogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten: y'' + y' - y cosx abcliste

Solution:
abcliste abc A- B- C- D-. hfill . Pkt./richtige Antwort abc Separation: frac+y^ dy fracx dx implies arctany ln|x| + C. Anfangswert y : arctan ln + C implies + C implies C . Lösung: yx tanln|x|. abc . Homogene Lösung y'' + y' - y : Charakteristische Gleichung: lambda^ + lambda - implies lambda+lambda- . hfill. Pkt Eigenwerte: lambda_ - lambda_ . hfill. Pkt Allgemeine homogene Lösung: y_hx C_ e^-x + C_ e^x. hfill. Pkt . Partikuläre Lösung y_p: Ansatz: y_px Acosx + Bsinx. hfill. Pkt Ableitungen bilden: y_p'x -Asinx + Bcosx y_p''x -Acosx - Bsinx. hfill. Pkt Einsetzen in die Differentialgleichung und Sortieren: -A + B - Acosx + -B - A - Bsinx cosx -A + Bcosx + -A - Bsinx cosx. hfill. Pkt Koeffizientenvergleich und Lösen des Gleichungssystems: I -A + B II -A - B implies A -B Einsetzen von II in I: B + B implies B und A -. Somit: y_px -cosx + sinx. hfill. Pkt . Allgemeine Lösung y y_h + y_p: yx C_ e^-x + C_ e^x - cosx + sinx. hfill. Pkt abcliste