Exercise:
Betrachten Sie die folgen voneinander unabhängigen Schwingungen. enumerate item Eine Masse m gram ist an einer vertikalen Feder mit der Federkonstante D N/m befestigt. Das System ist für y m im Gleichgewicht. center tikzpicturescale. foreach x in .... draw x -- x+..; draw very thick -- ; draw thick . -- ..; draw decoratedecorationcoilsegment length. cmdrawblack .. -- .; %draw thicksnakezigzag .. -- noderightD .; draw thick fillgray! rectangle node m ; draw -.. -- -.; draw latex-latex -.. -- node left y_-..; draw -.. -- -.; tikzpicture center enumerate item Zeigen Sie mit Hilfe der Bewegungsgleichung der Masse m dass omega_ sqrtfracDm ist. ~Pkt. item Bestimmen Sie für diese Schwingung die Periode T. /~Pkt. item Zum Zeitpunkt t_ s wird die Feder aus der Höhe y_ losgelassen. Bestimmen Sie die Funktion der Schwingung. ~Pkt. enumerate item Nun wird die Masse vollständig ins Wasser eingetaucht so dass die Masse für die gesamte Auslenkung unter Wasser ist. Die maximale Amplitude sei y_ und sie nehme exponentiell ab. center tikzpicturescale. foreach x in .... draw x -- x+..; draw decoratedecorationcoilsegment length. cmdrawblack -.. -- ..; %draw snakebublue!line widthpt -.. -- ..; draw fillblue!drawnone -. rectangle .-.; draw very thick -- ; draw thick . -- ..; draw decoratedecorationcoilsegment length. cmdrawblack .. -- .; % draw thicksnakezigzag .. -- .; node at . D; draw thick fillgray! rectangle node m ; draw -. rectangle .-.; draw very thick --. -- -.; tikzpicture center enumerate item Bestimmen Sie die Zeit bis die Amplitude auf % gesunken ist sofern die Dämpfungskonstante k .s^- ist. ~Pkt. item Zeichnen Sie für diese gedämpfte Schwingung die Funktion yt auf. ~Pkt. enumerate item Nun betrachten wir zwei Massen m_ und m_ die jeweils mit zwei Federn mit den Federkonstanten D und D^* verbunden sind. center tikzpicturescale. foreach y in -.-..... draw y -- -.y-.; draw very thick -. -- .; draw decoratedecorationcoilsegment length. cmdrawblack -- nodeabove D .; %draw thicksnakezigzag -- nodeabove D .; draw thick fillgray! .-. rectangle node m_ ..; draw thick -. -- -.; draw thick-latex - -- nodebelow x_ -; draw decoratedecorationcoilsegment length. cmdrawblack . -- nodeabove D^* ; %draw thicksnakezigzag . -- nodeabove D^* ; draw thick fillgray! -. rectangle node m_ .; draw thick .-. -- .-.; draw thick-latex .- -- nodebelow x_ -; draw decoratedecorationcoilsegment length. cmdrawblack -- nodeabove D .; %draw thicksnakezigzag -- nodeabove D .; draw very thick .-. -- ..; foreach y in -.-..... draw .y -- .y+.; tikzpicture center enumerate item Bestimmen Sie die Bewegungsgleichungen für die Massen m_ und m_ sofern x_ und x_ die zeitabhängigen Ortsvariablen sind. ~Pkt. item Angenommen Sie lenken nur die Masse m_ aus. Welche Voraussetzungen müssen gegeben sein damit die Schwingung von m_ maximal auf m_ übertragen werden kann? Sind diese Voraussetzungen gegeben? ~/~Pkt. enumerate enumerate

Solution:
Wir betrachten diese drei Schwingungen unabhängig von einandern. enumerate item Da die Masse im Gleichgewicht ist wirkt als beschleunige Kraft nur die rücktreibe Federkraft. enumerate item Die Bewegungsgleichung lautet: F_res F_F mddotx Rightarrow -Dx mddotx.qquadtext~Pkt. Damit erhalten wir mit omega_^ D/m -omega_^x ddotx was die DGL einer harmonischen Schwingung mit der Kreisfrequenz omega_ ist. item Mit der folgen Relation erhalten wir T fracpiomega_ approx .s.qquadtext/~Pkt. item In den Ansatz für eine harmonische Schwingung von yt Asinomega_t + Bcosomega_t setzen wir die Anfangsbedingungen yt y_ und dotyt ein yt Asinomega_ + Bcosomega_ B qquadtext~Pkt. somit ist B y_ und dotyt Acosomega_ - Bsinomega_ A qquadtext/~Pkt. somit ist A und wir erhalten yt y_cosomega_t.qquadtext/~Pkt. enumerate item Die Amplitude At wird bei einer gedämpften Schwingung durch eine Exponentialfunktion erweitert d.h. anstatt At y_ erhalten wir jetzt At y_ e^-kt wobei k die Dämpfungskonstante ist. enumerate item Damit müssen wir die folge Exponentialgleichung lösen Atau y_e^-ktau fracy_ Leftrightarrow e^-ktau fracqquadtext/~Pkt. d.h. tau fraclnk approx .s.qquadtext/~Pkt. item Die Punkte sind wie folgt zu verteilen: itemize item / Pkt. falls die Achsen ordnungsgemäss angeschrieben sind. item / Pkt. falls eine Kosinus- oder Sinusfunktion eingezeichnet ist. item / Pkt. falls die y-Achse bei y_ geschnitten wird. item / Pkt. falls die Schwingung innerhalb von zwei Exponentialfunktionen eingezeichnet wird. itemize center tikzpicturescale draw thick-latex -. -- . noderight t; draw thick-latex -- nodeabove yt; draw domain:red plotidy samples function.*exp-.*x*cos*x+; draw domain:blue plotidpe samples function.*exp-.*x+; draw domain:blue plotidme samples function-.*exp-.*x+; draw thick . -- -.. nodeleft y_; draw thick . -- -.. nodeleft -y_; tikzpicture center enumerate item Analog wen wir auch hier Newton II an und erhalten die Bewegungsgleichungen. enumerate item Lenkt man die Masse m_ nach rechts aus wird es durch die Feder D zurück gezogen leftarrow -Dx_. Gleichzeitig wird es auch von der Feder D^* zurückgezogen leftarrow -D^*x_. Das Auslenken der Masse m_ führt dazu dass die Masse m_ auch verschoben wird um x_ die zieht die Masse m_ zu sich rightarrow D^*x_. Analog für m_ ergibt: eqnarray* m_ddotx_ & -Dx_ - D^*x_-x_qquadtext~Pkt. m_ddotx_ & -Dx_ - D^*x_-x_qquadtext~Pkt. eqnarray* item Die Eigenfrequenz von m_ muss gleich der Eigenfrequenz von m_ sein ~Pkt.. Die Eigenfrequenzen sind nur gleich falls m_m_ ist / Pkt.. enumerate enumerate