Exercise:
Die Gradzahlen der Winkel eines Dreieck mit dem kleinsten Winkel winkelalpha° und der längsten Seite seitec cm bilden a eine AF b eine GF. Wie lang ist die kürzeste Seite. center tikzpicture tkzDefPoA tkzDefPoB tkzDefTriangletwo angles and AB tkzGetPoC tkzDrawSegmentAB tkzDrawPosAB tkzLabelPosAB tkzDrawSegmentsAC BC tkzDrawPosC tkzLabelPosaboveC tkzLabelAnglepos.BACwinkelalpha^circ tkzMarkAnglefillblue!BAC tkzLabelSegmentslopedaboveACb tkzLabelSegmentslopedABc seitec cm tkzLabelSegmentslopedaboveBCa tkzLabelAnglepos.CBAbeta tkzLabelAnglepos.BACalpha tkzLabelAnglepos.ACBgamma tikzpicture center

Solution:
center tikzpicture tkzDefPoA tkzDefPoB tkzDefTriangletwo angles and AB tkzGetPoC tkzDrawSegmentAB tkzDrawPosAB tkzLabelPosAB tkzDrawSegmentsAC BC tkzDrawPosC tkzLabelPosaboveC tkzLabelAnglepos.BACwinkelalpha^circ tkzMarkAngleBAC tkzMarkAngleACB tkzMarkAngleCBA tkzLabelSegmentslopedaboveACb tkzLabelSegmentslopedABc tkzLabelSegmentslopedaboveBCa tkzLabelAnglepos.CBAalpha+d tkzLabelAnglepos.BACalpha tkzLabelAnglepos.ACBbeta+d tikzpicture center Wenn die Winkel eines Dreiecks in einer arithmetischen Folge sind bedeutet das dass jeder Winkel um denselben Betrag den wir mit d bezeichnen grösser ist als der vorherige Winkel. In einem Dreieck ist die Summe der Innenwinkel immer . Das bedeutet dass die drei Winkel eines Dreiecks zusammen immer ergeben. Wenn die Winkel also in einer arithmetischen Folge sind dann können wir das mathematisch mit den folgen Gleichungen ausdrücken: alpha + beta + gamma ^circ alpha + alpha + d + beta + d ^circ winkelalpha + winkelalpha + d + winkelalpha + d + d ^circ resulta + d ^circ d resultb^circ d resultc^circ Nun wissen wir dass immer resultc ° zu jedem Winkel hinzugefügt wird. Das bedeutet dass: alpha winkelalpha^circ beta winkelalpha + resultc resultbeta^circ gamma winkelalpha + * resultc resultbegamma^circ Nachdem wir alle drei Winkel des Dreiecks bestimmt haben können wir nun die Seitenlängen berechnen. Um dies zu tun verwen wir den Sinussatz der eine Beziehung zwischen den Winkeln und den gegenüberliegen Seiten eines Dreiecks herstellt. Der Sinussatz lautet wie folgt: fracasinalpha fracbsinbeta fraccsingamma Wenn wir die kürzeste Seite herausfinden wollen müssen wir zuerst alle drei Seiten berechnen und sie miteinander vergleichen. Die Seite c und alle Winkel sind bereits bekannt. Um die anderen Seiten zu bestimmen formen wir den Sinussatz nach a und b um. Die Umformung sieht folg aus. defbfpevalroundseitec * sinresultbeta * pi/ / sinresultbegamma * pi/ a fracc * sinalpha singamma numfpevalroundseitec * sinwinkelalpha * pi/ / sinresultbegamma * pi/ cm b fracc * sinbetasingamma numb cm Lösung : kürzeste Seite vom Dreieck ist numfpevalminfpevalroundseitec * sinresultbeta * pi/ / sinresultbegamma * pi/ fpevalroundseitec * sinwinkelalpha * pi/ / sinresultbegamma * pi/ cm lang a fracc * sinalpha singamma a fracc * sinalpha sinalpha + d a fracc * sin alphasinalpha + *frac-alpha a fracc * sin alphasin alpha + frac - alpha a fracc * sin alphasin frac alpha + - alpha a fracc * sin alphasin frac - alpha a fracc * sin alphasin - alpha a fracseitec * sin winkelalphasin - winkelalpha a numfpevalroundseitec * sinwinkelalpha * pi/ / sinresultbegamma * pi/ cm a numfpevalroundseitec * sinwinkelalpha * pi/ / sinresultbegamma * pi// m b fracc * sinbetasin gamma b fracc * sinalpha + d sinalpha + d b fracc * sinalpha + frac-alphasinalpha + *frac-alpha b fracc * sinfracalpha + - alphasin alpha + frac - alpha b fracc * sinfracsin frac alpha + - alpha b fracc * sinsin frac - alpha b fracc * sinsin - alpha b fracseitec * sinsin - winkelalpha b numb cm b numfpevalb / m tikzpicture tkzDefPoA tkzDefPoB tkzDefTriangletwo angles and AB tkzGetPoC tkzDrawSegmentAB tkzDrawPosAB tkzLabelPosAB tkzDrawSegmentsAC BC tkzDrawPosC tkzLabelPosaboveC tkzLabelAnglepos.BACwinkelalpha^circ tkzMarkAngleBAC tkzMarkAngleACB tkzMarkAngleCBA tkzLabelSegmentslopedaboveACb tkzLabelSegmentslopedABc tkzLabelSegmentslopedaboveBCa tkzLabelAnglepos.CBAalpha*q tkzLabelAnglepos.BACalpha tkzLabelAnglepos.ACBbeta*q tikzpicture * * Wenn die Winkel eines Dreiecks eine geometrische Folge bilden bedeutet das dass jeder Winkel durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor q aus dem vorherigen Winkel hervorgeht. Da die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks ° beträgt können wir dies wie vorher in einer Gleichung ausdrücken. Wenn die Winkel in einer geometrischen Folge stehen dann gilt: defqfpevalround-winkelalpha + sqrtwinkelalpha^ - *winkelalpha* --winkelalpha / *winkelalpha alpha + beta + gamma ^circ alpha + alpha * q + beta * q ^circ alpha + alpha q + alpha q^ ^circ winkelalpha + winkelalpha q + winkelalpha q^ ^circ q + q^ fpeval -winkelalpha winkelalpha*q^ + winkelalpha*q - fpeval -winkelalpha q_ q q_ fpevalround-winkelalpha - sqrtwinkelalpha^ - *winkelalpha* --winkelalpha / *winkelalpha Das negative q können wir in dieser Aufgabe nicht brauchen da Winkeln nicht negativ sein können. Um Winkel beta und gamma herauszufinden müssen wir das positive q einsetzen: defwinkelbetafpevalroundwinkelalpha * q defwinkelgammafpevalroundwinkelbeta * q alpha winkelalpha^circ beta alpha * q beta winkelalpha * q beta winkelbeta^circ gamma beta * q alpha * q^ gamma winkelbeta * q winkelalpha * q^ gamma winkelgamma^circ Um die Seiten a und b zu berechnen formen wir den Sinussatz wieder entsprech um. Anschließ vergleichen wir die Werte um die kürzeste Seite zu bestimmen : defbetabfpevalroundwinkelalpha * fpevalround-winkelalpha + sqrtwinkelalpha^ - *winkelalpha* --winkelalpha / *winkelalpha defgammabfpevalroundwinkelalpha * fpevalround-winkelalpha + sqrtwinkelalpha^ - *winkelalpha* --winkelalpha / *winkelalpha ^ a fracc * sinalpha singamma numfpevalroundseitec * sinwinkelalpha * pi/ / singammab * pi/ cm b fracc * sinbetasingamma numfpevalroundseitec * sinbetab * pi/ / singammab * pi/ cm Lösung : Die kürzeste Seite vom Dreieck ist numfpevalmin fpevalroundseitec * sinwinkelalpha * pi/ / singammab * pi/ fpevalroundseitec * sinbetab * pi/ / singammab * pi/ cm lang sectionwissenschaftliche Schreibweise b a fracc * sinalpha singamma a fracc * sinalpha sinalpha * q^ a fracc * sinalpha sinleftalpha * leftfrac-b pm sqrtb^ - acaright^right a fracc * sinalpha sinleftalpha * leftfrac-alpha pm sqrtalpha^ - alpha - - alphaalpharight^right a fracc * sinalpha sinleftalpha * leftfrac- alpha pm sqrt-alpha^ + alpha alpharight^right a fracseitec * sinwinkelalpha sinleftwinkelalpha * leftfrac- winkelalpha pm sqrt-*winkelalpha^ + *winkelalpha *winkelalpharight^right a numfpevalroundseitec * sinwinkelalpha * pi/ / singammab * pi/ cm a numfpevalroundseitec * sinwinkelalpha * pi/ / singammab * pi// m b fracc * sinbetasingamma b fracc * sinalpha * qsinalpha * q^ b fracc * sinleft alpha * frac-b pm sqrtb^ - acarightsinleftalpha * leftfrac-b pm sqrtb^ - acaright^right b fracc * sinsinleftalpha * frac-alpha pm sqrtalpha^ - alpha - - alphaalpharightsinleftalpha * leftfrac-alpha pm sqrtalpha^ - alpha - - alphaalpharight^right b fracc * sinleftalpha *frac- alpha pm sqrt-alpha^ + alpha alpharightsinleftalpha * leftfrac- alpha pm sqrt-alpha^ + alpha alpharight^right b fracseitec * sinleftwinkelalpha * frac- winkelalpha pm sqrt-*winkelalpha^ + *winkelalpha *winkelalpharightsinleftwinkelalpha * leftfrac- winkelalpha pm sqrt-*winkelalpha^ + *winkelalpha *winkelalpharight^right b numfpevalroundseitec * sinbetab * pi/ / singammab * pi/ cm b num fpevalroundseitec * sinbetab * pi/ / singammab * pi// m