Exercise:
Ein flexibles masseloses undehnbares Seil sei asymmetrisch auf verschiedenen Höhen aufgehängt. Eine Perle Massenpunkt rutsche reibungsfrei auf dem Seil. Sie bewegt sich zum tiefsten Punkt. Das Seil wird zu einem Spitz geformt. Bestimmen Sie aus den Koordinaten der Aufhängung und der Seillänge die Koordinate des Seilspitzes im Gleichgewicht. quad figureH includegraphicswidthtextwidth#image_path:Seilspitz# caption labelfig:Seilspitz figure

Solution:
% . Juli Lie. captlabelfig:Seilspitz Perle auf reibungsfreiem Faden newline Die Perle kann sich auf einer Ellipse mit den Brennpunkten A und B bewegen in einer vertikalen Ebene. Im tiefsten Punkt ist die Tangente an die Ellipse horizontal. Ein Lichtstrahl von A wird an der Ellipse nach B reflektiert d.h. die Winkel zur Tangente sind gleich Reflexionsgesetz. Somit haben die Seilstücke denselben Winkel alpha zur Horizontalen. minipage hfill minipage.textwidth centering includegraphicsGrafiken/Seilspitz/Seilspitz.pdf % . Juli Lie. minipage vspacemm * &F_Ax F_Bx qquad textKräftegleichgewicht horizontal &F_Ay / F_Ax F_By/F_Bx tanalpha qquad textKraft in Seilrichtung &Rightarrow F_Ay F_By F_G/ qquad textKräftegleichgewicht vertikal * Die Seilstücke können also durch folge Geradengleichungen beschrieben werden: * &y ax-x_B + y_B &&y -ax-x_A + y_A && a tanalpha * Damit lassen sich die Koordinaten x_P ; y_P des Seilspitz berechnen: * &y_P ax_P-x_B + y_B -ax_P-x_A + y_A Rightarrow x_P fracx_A+x_B + fracy_A - y_Ba &y_P aleft fracx_A+x_B + fracy_A - y_Ba - x_B right + y_B afracx_A-x_B + fracy_A+y_B * Die Steigung a dieser Geraden wird durch die Seillänge ell bestimmt: * &ell fracx_B-x_Acosalpha fracx_B-x_Acosarctan a x_B-x_A sqrt+a^ Rightarrow a sqrtleft fracellx_B-x_A right^ - * Die Gleichung für a hat keine Lösung falls ell^ x_B-x_A^ ist. Der räumliche Abstand von A und B darf auch nicht grösser als ell sein. Falls x_A x_B ist folgt x_P x_A und y_A-y_P + y_B-y_P ell Rightarrow y_P y_A+y_B-ell/ Die Lösung ist nur dann sinnvoll wenn y_B-y_A leqslant ell ist. newpage figureH includegraphicswidthtextwidth#image_path:Seilspitz# caption labelfig:Seilspitz figure