Exercise:
Vier Ladungen mit dem gleichen Betrag q befinden sich in den Ecken eines Quadrats der Seitenlänge l vgl. Abb.. center tikzpicturescale. % Quadrat draw rectangle ; % Ladungen shadedraw shadingball ball coloryellowdrawnone circle .cm node mathbf+; shadedraw shadingball ball coloryellowdrawnone circle .cm node mathbf-; shadedraw shadingball ball coloryellowdrawnone circle .cm node mathbf+; shadedraw shadingball ball coloryellowdrawnone circle .cm node mathbf-; tikzpicture center Zeigen Sie dass das elektrische Feld in der Mitte einer Quadratseite längs dieser auf die negative Ladung weist und den Betrag E fracpi epsilon_fracql^left-fracsqrtright hat.

Solution:
Da die Ladungen immer abwechselnd sind hat das Problem die nötige Symmetrie um nur eine Seite betrachten zu müssen. Damit beschränken wir uns auf die untere Seite. Von den Ladungen unten links und rechts erhalten wir betragsmässig das gleiche Feld. Es gilt: E_u E_ul + E_ur E_ul fracpi epsilon_fracqleftfraclright^ fracpi epsilon_fracql^. Dazu wird das Feld von oben addiert dabei ist jedoch zu beachten dass sich die vertikalen Komponenten des Feldes gegenseitig aufheben und damit nur die horizontalen Komponenten zu beachten sind. center tikzpicturescale. % Quadrat draw rectangle ; % Hilfslinien draw -- node right l' ; draw . arc :.:.; node at .. alpha; % Ladungen shadedraw shadingball ball coloryellowdrawnone circle .cm node mathbf+; shadedraw shadingball ball coloryellowdrawnone circle .cm node mathbf-; shadedraw shadingball ball coloryellowdrawnone circle .cm node mathbf+; shadedraw shadingball ball coloryellowdrawnone circle .cm node mathbf-; % Punkt draw fillblack circle .cm; tikzpicture center Für den Abstand gilt mit dem Pythagoras direkt: l' sqrtl^ + fracl^ fracsqrtl. Die horizontale Komponente entspricht dem sin alpha des elektrischen Feldes von oben wobei sich hier auch die horizontalen Komponenten von oben jeweils addieren. Es gilt also: E_o E_ol + E_orsinalpha E_olsinalpha. Mit dem neuen Abstand l' von oben erhalten wir: E_o frac pi epsilon_fracqleftfracsqrtlright^sinalpha fracpi epsilon_fracql^sin alpha. Mit dem sin alpha fracl/l' fracsqrt fracsqrt erhalten wir: E_o fracpi epsilon_fracql^fracsqrt. Es ist leicht einzusehen durch einsetzen einer beliebigen Probeladung dass E_o immer entgegengesetzt zu E_u ist und da die Ladungen gleich gross sind jedoch der Abstand verschieden ist E_uE_o und damit erhalten wir schliesslich: E E_u - E_o fracpi epsilon_fracql^ - fracpi epsilon_fracql^fracsqrt womit die Behauptung bewiesen ist.