Eigenschaften von Nullmengen
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Exercise:
Eine Teilmenge einer Nullmenge ist eine Nullmenge. Eine abzählbare Vereinigung von Nullmengen ist wiederum eine Nullmenge.
Solution:
Beweis. Die erste Aussage folgt direkt aus der Definition. Sei nun N_N_...N_j... eine Folge von Nullmengen im mathbbR^n und sei N ihre Vereinigung. Sei epsilon . Dann existiert per Definition der Nullmengen für jedes N_j eine Folge von offenen Quadern Q_jl_l mit N_j&subseteq bigcup_l^inftyQ_jlquad _l^inftytextvolQ_jl fracepsilon^j. Dies impliziert aber N &bigcup_j^inftyN_jsubseteq bigcup_j^inftybigcup_l^infty Q_jl &_j^infty_l^inftytextvolQ_jl _j^inftyfracepsilon^j epsilon. Da mathbbNtimes mathbbN abzählbar ist und epsilon beliebig war erhält man dass N eine Nullmenge ist.
Eine Teilmenge einer Nullmenge ist eine Nullmenge. Eine abzählbare Vereinigung von Nullmengen ist wiederum eine Nullmenge.
Solution:
Beweis. Die erste Aussage folgt direkt aus der Definition. Sei nun N_N_...N_j... eine Folge von Nullmengen im mathbbR^n und sei N ihre Vereinigung. Sei epsilon . Dann existiert per Definition der Nullmengen für jedes N_j eine Folge von offenen Quadern Q_jl_l mit N_j&subseteq bigcup_l^inftyQ_jlquad _l^inftytextvolQ_jl fracepsilon^j. Dies impliziert aber N &bigcup_j^inftyN_jsubseteq bigcup_j^inftybigcup_l^infty Q_jl &_j^infty_l^inftytextvolQ_jl _j^inftyfracepsilon^j epsilon. Da mathbbNtimes mathbbN abzählbar ist und epsilon beliebig war erhält man dass N eine Nullmenge ist.